Математический анализ Примеры

$lim_{x \to π} \sin (\frac{x}{2} - π)$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\sin (lim_{x \to π} \frac{x}{2} - π)$

Этап 1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\sin (lim_{x \to π} \frac{x}{2} - lim_{x \to π} π)$

Этап 1.3

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sin (\frac{1}{2} lim_{x \to π} x - lim_{x \to π} π)$

Этап 1.4

Найдем предел $π$ , который является константой по мере приближения $x$ к $π$ .

$\sin (\frac{1}{2} lim_{x \to π} x - π)$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\sin (\frac{1}{2} π - π)$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $π$ .

$\sin (\frac{π}{2} - π)$

Этап 3.2

Чтобы записать $- π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\sin (\frac{π}{2} - π \cdot \frac{2}{2})$

Этап 3.3

Объединим $- π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\sin (\frac{π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2})$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sin (\frac{π - π \cdot 2}{2})$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\sin (\frac{π - 2 π}{2})$

Этап 3.5.2

Вычтем $2 π$ из $π$ .

$\sin (\frac{- π}{2})$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (- \frac{π}{2})$

Этап 3.7

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 3.8

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Этап 3.9

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 3.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$