Математический анализ Примеры

$lim_{x \to π} {\sin (x)}^{\csc (x)}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${\sin (x)}^{\csc (x)}$ в виде $e^{\ln ({\sin (x)}^{\csc (x)})}$ .

$lim_{x \to π} e^{\ln ({\sin (x)}^{\csc (x)})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({\sin (x)}^{\csc (x)})$ , вынося $\csc (x)$ из логарифма.

$lim_{x \to π} e^{\csc (x) \ln (\sin (x))}$

Этап 2

Рассмотрим предел как левосторонний.

$lim_{x \to π^{-}} e^{\csc (x) \ln (\sin (x))}$

Этап 3

Поскольку показатель степени $\csc (x) \ln (\sin (x))$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{\csc (x) \ln (\sin (x))}$ стремится к $0$ .

$0$

Этап 4

Рассмотрим предел как правосторонний.

$lim_{x \to π^{+}} e^{\csc (x) \ln (\sin (x))}$

Этап 5

Вычислим пределы, подставив значение переменной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $e^{\csc (x) \ln (\sin (x))}$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$e^{\csc (π) \ln (\sin (π))}$

Этап 5.2

Выразим $\csc (π)$ через синусы и косинусы.

$e^{\frac{1}{\sin (π)} \ln (\sin (π))}$

Этап 5.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$e^{\frac{1}{\sin (0)} \ln (\sin (π))}$

Этап 5.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$e^{\frac{1}{0} \ln (\sin (π))}$

Этап 5.5

Так как выражение $e^{\frac{1}{0} \ln (\sin (π))}$ не определено, предел не существует.

$Не существует$

Этап 6

Если право- или левостороннего предел не существует, предел не существует.

$Не существует$