Математический анализ Примеры

$lim_{x \to π} \frac{\ln (1 + \sin (x))}{x}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} \ln (1 + \sin (x))}{lim_{x \to π} x}$

Этап 2

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{\ln (lim_{x \to π} 1 + \sin (x))}{lim_{x \to π} x}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to π} 1 + lim_{x \to π} \sin (x))}{lim_{x \to π} x}$

Этап 4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $π$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to π} \sin (x))}{lim_{x \to π} x}$

Этап 5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\ln (1 + \sin (lim_{x \to π} x))}{lim_{x \to π} x}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $π$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{\ln (1 + \sin (π))}{lim_{x \to π} x}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{\ln (1 + \sin (π))}{π}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{\ln (1 + \sin (0))}{π}$

Этап 7.1.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{π}$

Этап 7.1.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\ln (1)}{π}$

Этап 7.1.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{π}$

Этап 7.2

Разделим $0$ на $π$ .

$0$