Математический анализ Примеры

$lim_{x \to π} \frac{1 - \sin (\frac{x}{2})}{π - x}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to π} 1 - \sin (\frac{x}{2})}{lim_{x \to π} π - x}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} 1 - lim_{x \to π} \sin (\frac{x}{2})}{lim_{x \to π} π - x}$

Этап 1.1.2.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $π$ .

$\frac{1 - lim_{x \to π} \sin (\frac{x}{2})}{lim_{x \to π} π - x}$

Этап 1.1.2.1.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to π} \frac{x}{2})}{lim_{x \to π} π - x}$

Этап 1.1.2.1.4

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{1}{2} lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} π - x}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{1}{2} π)}{lim_{x \to π} π - x}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $π$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{lim_{x \to π} π - x}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to π} π - x}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to π} π - x}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} π - x}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} π - lim_{x \to π} x}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $π$ , который является константой по мере приближения $x$ к $π$ .

$\frac{0}{π - lim_{x \to π} x}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{0}{π - π}$

Этап 1.1.3.3

Вычтем $π$ из $π$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to π} \frac{1 - \sin (\frac{x}{2})}{π - x} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sin (\frac{x}{2})]}{\frac{d}{d x} [π - x]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sin (\frac{x}{2})]}{\frac{d}{d x} [π - x]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $1 - \sin (\frac{x}{2})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (\frac{x}{2})]$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (\frac{x}{2})]}{\frac{d}{d x} [π - x]}$

Этап 1.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sin (\frac{x}{2})]}{\frac{d}{d x} [π - x]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (\frac{x}{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (\frac{x}{2})$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$ .

$lim_{x \to π} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]}{\frac{d}{d x} [π - x]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{2}$ .

$lim_{x \to π} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])}{\frac{d}{d x} [π - x]}$

Этап 1.3.4.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$lim_{x \to π} \frac{0 - (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])}{\frac{d}{d x} [π - x]}$

Этап 1.3.4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{2}$ .

$lim_{x \to π} \frac{0 - (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])}{\frac{d}{d x} [π - x]}$

Этап 1.3.4.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to π} \frac{0 - (\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [π - x]}$

Этап 1.3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{0 - (\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [π - x]}$

Этап 1.3.4.5

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{0 - (\cos (\frac{x}{2}) \frac{1}{2})}{\frac{d}{d x} [π - x]}$

Этап 1.3.4.6

Объединим $\cos (\frac{x}{2})$ и $\frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to π} \frac{0 - \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}}{\frac{d}{d x} [π - x]}$

Этап 1.3.5

Вычтем $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ из $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}}{\frac{d}{d x} [π - x]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $π - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to π} \frac{- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}}{\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 1.3.7

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}}{0 + \frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to π} \frac{- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}}{0 - \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}}{0 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.8.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}}{0 - 1}$

Этап 1.3.9

Вычтем $1$ из $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}}{- 1}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to π} - \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{1}{- 1}$

Этап 1.5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $\frac{1}{- 1}$ на $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$lim_{x \to π} - \frac{\cos (\frac{x}{2})}{- 1 \cdot 2}$

Этап 1.5.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to π} - \frac{\cos (\frac{x}{2})}{- 2}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- lim_{x \to π} \frac{\cos (\frac{x}{2})}{- 2}$

Этап 2.2

Вынесем член $\frac{1}{- 2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- \frac{1}{- 2} lim_{x \to π} \cos (\frac{x}{2})$

Этап 2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$- \frac{1}{- 2} \cos (lim_{x \to π} \frac{x}{2})$

Этап 2.4

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- \frac{1}{- 2} \cos (\frac{1}{2} lim_{x \to π} x)$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$- \frac{1}{- 2} \cos (\frac{1}{2} π)$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{1}{2} \cos (\frac{1}{2} π)$

Этап 4.2

Умножим $- - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \cos (\frac{1}{2} π)$

Этап 4.2.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cos (\frac{1}{2} π)$

Этап 4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $π$ .

$\frac{1}{2} \cos (\frac{π}{2})$

Этап 4.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Этап 4.5

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$0$