Математический анализ Примеры

$lim_{x \to π} \frac{1 - \cos (x)}{x}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to π} x}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} 1 - lim_{x \to π} \cos (x)}{lim_{x \to π} x}$

Этап 3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $π$ .

$\frac{1 - lim_{x \to π} \cos (x)}{lim_{x \to π} x}$

Этап 4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} x}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $π$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{1 - \cos (π)}{lim_{x \to π} x}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{1 - \cos (π)}{π}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{1 - - \cos (0)}{π}$

Этап 6.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1 - (- 1 \cdot 1)}{π}$

Этап 6.3

Умножим $- (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - - 1}{π}$

Этап 6.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1 + 1}{π}$

Этап 6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{π}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2}{π}$

Десятичная форма:

$0.63661977 \dots$