Математический анализ Примеры

$lim_{x \to π} \frac{1 + \cos^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to π} 1 + \cos^{3} (x)}{lim_{x \to π} \tan^{2} (x)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} 1 + lim_{x \to π} \cos^{3} (x)}{lim_{x \to π} \tan^{2} (x)}$

Этап 1.1.2.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $π$ .

$\frac{1 + lim_{x \to π} \cos^{3} (x)}{lim_{x \to π} \tan^{2} (x)}$

Этап 1.1.2.1.3

Вынесем степень $3$ в выражении $\cos^{3} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1 + {(lim_{x \to π} \cos (x))}^{3}}{lim_{x \to π} \tan^{2} (x)}$

Этап 1.1.2.1.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1 + \cos^{3} (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} \tan^{2} (x)}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{1 + \cos^{3} (π)}{lim_{x \to π} \tan^{2} (x)}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{1 + {(- \cos (0))}^{3}}{lim_{x \to π} \tan^{2} (x)}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1 + {(- 1 \cdot 1)}^{3}}{lim_{x \to π} \tan^{2} (x)}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 + {(- 1)}^{3}}{lim_{x \to π} \tan^{2} (x)}$

Этап 1.1.2.3.1.4

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to π} \tan^{2} (x)}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} \tan^{2} (x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Вынесем степень $2$ в выражении $\tan^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} \tan (x))}^{2}}$

Этап 1.1.3.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{0}{\tan^{2} (lim_{x \to π} x)}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{0}{\tan^{2} (π)}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный во втором квадранте.

$\frac{0}{{(- \tan (0))}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{{(- 0)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Этап 1.1.3.3.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to π} \frac{1 + \cos^{3} (x)}{\tan^{2} (x)} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [1 + \cos^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [1 + \cos^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $1 + \cos^{3} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Этап 1.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{0 + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{0 + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Этап 1.3.4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to π} \frac{0 + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Этап 1.3.4.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{0 + 3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Этап 1.3.4.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{0 + 3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$lim_{x \to π} \frac{0 - 3 \cos^{2} (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Этап 1.3.5

Вычтем $3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ из $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Этап 1.3.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)}{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 1.3.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)}{2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 1.3.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)}{2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 1.3.7

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)}{2 \tan (x) \sec^{2} (x)}$

Этап 1.3.8

Изменим порядок множителей в $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)}{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Этап 2

Вынесем член $\frac{- 3}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{\cos^{2} (x) \sin (x)}{\sec^{2} (x) \tan (x)}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{lim_{x \to π} \cos^{2} (x) \sin (x)}{lim_{x \to π} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{lim_{x \to π} \cos^{2} (x) \cdot lim_{x \to π} \sin (x)}{lim_{x \to π} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Этап 3.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $\cos^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to π} \cos (x))}^{2} \cdot lim_{x \to π} \sin (x)}{lim_{x \to π} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Этап 3.1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{\cos^{2} (lim_{x \to π} x) \cdot lim_{x \to π} \sin (x)}{lim_{x \to π} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Этап 3.1.2.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{\cos^{2} (lim_{x \to π} x) \cdot \sin (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Этап 3.1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $π$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{\cos^{2} (π) \cdot \sin (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Этап 3.1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{\cos^{2} (π) \cdot \sin (π)}{lim_{x \to π} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Этап 3.1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.1

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{{(- \cos (0))}^{2} \cdot \sin (π)}{lim_{x \to π} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Этап 3.1.2.6.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{{(- 1 \cdot 1)}^{2} \cdot \sin (π)}{lim_{x \to π} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Этап 3.1.2.6.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{{(- 1)}^{2} \cdot \sin (π)}{lim_{x \to π} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Этап 3.1.2.6.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{1 \cdot \sin (π)}{lim_{x \to π} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Этап 3.1.2.6.5

Умножим $\sin (π)$ на $1$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{\sin (π)}{lim_{x \to π} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Этап 3.1.2.6.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to π} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Этап 3.1.2.6.7

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to π} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to π} \sec^{2} (x) \cdot lim_{x \to π} \tan (x)}$

Этап 3.1.3.2

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to π} \sec (x))}^{2} \cdot lim_{x \to π} \tan (x)}$

Этап 3.1.3.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{0}{\sec^{2} (lim_{x \to π} x) \cdot lim_{x \to π} \tan (x)}$

Этап 3.1.3.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{0}{\sec^{2} (lim_{x \to π} x) \cdot \tan (lim_{x \to π} x)}$

Этап 3.1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $π$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{0}{\sec^{2} (π) \cdot \tan (lim_{x \to π} x)}$

Этап 3.1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{0}{\sec^{2} (π) \cdot \tan (π)}$

Этап 3.1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.6.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как секанс отрицательный во втором квадранте.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{0}{{(- \sec (0))}^{2} \cdot \tan (π)}$

Этап 3.1.3.6.2

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{0}{{(- 1 \cdot 1)}^{2} \cdot \tan (π)}$

Этап 3.1.3.6.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{0}{{(- 1)}^{2} \cdot \tan (π)}$

Этап 3.1.3.6.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{0}{1 \cdot \tan (π)}$

Этап 3.1.3.6.5

Умножим $\tan (π)$ на $1$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{0}{\tan (π)}$

Этап 3.1.3.6.6

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{0}{- \tan (0)}$

Этап 3.1.3.6.7

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{0}{- 0}$

Этап 3.1.3.6.8

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.6.9

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.2

$lim_{x \to π} \frac{\cos^{2} (x) \sin (x)}{\sec^{2} (x) \tan (x)} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos^{2} (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Этап 3.3.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Этап 3.3.4

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $\cos (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Этап 3.3.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{{\cos (x)}^{2 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Этап 3.3.4.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{\cos^{3} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Этап 3.3.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{\cos^{3} (x) + \sin (x) \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Этап 3.3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{\cos^{3} (x) + \sin (x) \cdot 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Этап 3.3.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{\cos^{3} (x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Этап 3.3.6

Перенесем $2$ влево от $\sin (x)$ .

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{\cos^{3} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Этап 3.3.7

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{\cos^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Этап 3.3.8

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{\cos^{3} (x) - 2 \sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Этап 3.3.9

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{\cos^{3} (x) - 2 \sin^{1} (x) \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Этап 3.3.10

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{\cos^{3} (x) - 2 \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Этап 3.3.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{\cos^{3} (x) - 2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Этап 3.3.12

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{\cos^{3} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Этап 3.3.13

Изменим порядок членов.

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Этап 3.3.14

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}{\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}$

Этап 3.3.15

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}{\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}$

Этап 3.3.16

Умножим $\sec^{2} (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.16.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}{{\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}$

Этап 3.3.16.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}{\sec^{4} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}$

Этап 3.3.17

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.17.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sec (x)$ .

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}{\sec^{4} (x) + \tan (x) \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Этап 3.3.17.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}{\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Этап 3.3.17.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}{\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Этап 3.3.18

Перенесем $2$ влево от $\tan (x)$ .

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}{\sec^{4} (x) + 2 \cdot \tan (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Этап 3.3.19

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}{\sec^{4} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) \sec (x) \tan (x)}$

Этап 3.3.20

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) \sec (x)}$

Этап 3.3.21

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) \sec (x)}$

Этап 3.3.22

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}{\sec^{4} (x) + 2 {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) \sec (x)}$

Этап 3.3.23

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec (x) \sec (x)}$

Этап 3.3.24

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{1} (x) \sec (x)}$

Этап 3.3.25

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{1} (x) \sec^{1} (x)}$

Этап 3.3.26

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 1}}$

Этап 3.3.27

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}$

Этап 3.3.28

Изменим порядок членов.

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to π} \frac{- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{lim_{x \to π} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}{lim_{x \to π} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to π} 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + lim_{x \to π} \cos^{3} (x)}{lim_{x \to π} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Этап 4.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 2 lim_{x \to π} \sin^{2} (x) \cos (x) + lim_{x \to π} \cos^{3} (x)}{lim_{x \to π} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Этап 4.4

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 2 lim_{x \to π} \sin^{2} (x) \cdot lim_{x \to π} \cos (x) + lim_{x \to π} \cos^{3} (x)}{lim_{x \to π} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Этап 4.5

Вынесем степень $2$ в выражении $\sin^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 2 {(lim_{x \to π} \sin (x))}^{2} \cdot lim_{x \to π} \cos (x) + lim_{x \to π} \cos^{3} (x)}{lim_{x \to π} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Этап 4.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 2 \sin^{2} (lim_{x \to π} x) \cdot lim_{x \to π} \cos (x) + lim_{x \to π} \cos^{3} (x)}{lim_{x \to π} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Этап 4.7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 2 \sin^{2} (lim_{x \to π} x) \cdot \cos (lim_{x \to π} x) + lim_{x \to π} \cos^{3} (x)}{lim_{x \to π} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Этап 4.8

Вынесем степень $3$ в выражении $\cos^{3} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 2 \sin^{2} (lim_{x \to π} x) \cdot \cos (lim_{x \to π} x) + {(lim_{x \to π} \cos (x))}^{3}}{lim_{x \to π} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Этап 4.9

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 2 \sin^{2} (lim_{x \to π} x) \cdot \cos (lim_{x \to π} x) + \cos^{3} (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Этап 4.10

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 2 \sin^{2} (lim_{x \to π} x) \cdot \cos (lim_{x \to π} x) + \cos^{3} (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + lim_{x \to π} \sec^{4} (x)}$

Этап 4.11

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 2 \sin^{2} (lim_{x \to π} x) \cdot \cos (lim_{x \to π} x) + \cos^{3} (lim_{x \to π} x)}{2 lim_{x \to π} \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + lim_{x \to π} \sec^{4} (x)}$

Этап 4.12

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 2 \sin^{2} (lim_{x \to π} x) \cdot \cos (lim_{x \to π} x) + \cos^{3} (lim_{x \to π} x)}{2 lim_{x \to π} \sec^{2} (x) \cdot lim_{x \to π} \tan^{2} (x) + lim_{x \to π} \sec^{4} (x)}$

Этап 4.13

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 2 \sin^{2} (lim_{x \to π} x) \cdot \cos (lim_{x \to π} x) + \cos^{3} (lim_{x \to π} x)}{2 {(lim_{x \to π} \sec (x))}^{2} \cdot lim_{x \to π} \tan^{2} (x) + lim_{x \to π} \sec^{4} (x)}$

Этап 4.14

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 2 \sin^{2} (lim_{x \to π} x) \cdot \cos (lim_{x \to π} x) + \cos^{3} (lim_{x \to π} x)}{2 \sec^{2} (lim_{x \to π} x) \cdot lim_{x \to π} \tan^{2} (x) + lim_{x \to π} \sec^{4} (x)}$

Этап 4.15

Вынесем степень $2$ в выражении $\tan^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 2 \sin^{2} (lim_{x \to π} x) \cdot \cos (lim_{x \to π} x) + \cos^{3} (lim_{x \to π} x)}{2 \sec^{2} (lim_{x \to π} x) \cdot {(lim_{x \to π} \tan (x))}^{2} + lim_{x \to π} \sec^{4} (x)}$

Этап 4.16

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 2 \sin^{2} (lim_{x \to π} x) \cdot \cos (lim_{x \to π} x) + \cos^{3} (lim_{x \to π} x)}{2 \sec^{2} (lim_{x \to π} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to π} x) + lim_{x \to π} \sec^{4} (x)}$

Этап 4.17

Вынесем степень $4$ в выражении $\sec^{4} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 2 \sin^{2} (lim_{x \to π} x) \cdot \cos (lim_{x \to π} x) + \cos^{3} (lim_{x \to π} x)}{2 \sec^{2} (lim_{x \to π} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to π} x) + {(lim_{x \to π} \sec (x))}^{4}}$

Этап 4.18

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 2 \sin^{2} (lim_{x \to π} x) \cdot \cos (lim_{x \to π} x) + \cos^{3} (lim_{x \to π} x)}{2 \sec^{2} (lim_{x \to π} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to π} x) + \sec^{4} (lim_{x \to π} x)}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $π$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 2 \sin^{2} (π) \cdot \cos (lim_{x \to π} x) + \cos^{3} (lim_{x \to π} x)}{2 \sec^{2} (lim_{x \to π} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to π} x) + \sec^{4} (lim_{x \to π} x)}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 2 \sin^{2} (π) \cdot \cos (π) + \cos^{3} (lim_{x \to π} x)}{2 \sec^{2} (lim_{x \to π} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to π} x) + \sec^{4} (lim_{x \to π} x)}$

Этап 5.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 2 \sin^{2} (π) \cdot \cos (π) + \cos^{3} (π)}{2 \sec^{2} (lim_{x \to π} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to π} x) + \sec^{4} (lim_{x \to π} x)}$

Этап 5.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 2 \sin^{2} (π) \cdot \cos (π) + \cos^{3} (π)}{2 \sec^{2} (π) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to π} x) + \sec^{4} (lim_{x \to π} x)}$

Этап 5.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 2 \sin^{2} (π) \cdot \cos (π) + \cos^{3} (π)}{2 \sec^{2} (π) \cdot \tan^{2} (π) + \sec^{4} (lim_{x \to π} x)}$

Этап 5.6

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 2 \sin^{2} (π) \cdot \cos (π) + \cos^{3} (π)}{2 \sec^{2} (π) \cdot \tan^{2} (π) + \sec^{4} (π)}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{- 2 \sin^{2} (π) \cdot \cos (π) + \cos^{3} (π)}{2 \sec^{2} (π) \cdot \tan^{2} (π) + \sec^{4} (π)}$

Этап 6.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{- 2 \sin^{2} (0) \cdot \cos (π) + \cos^{3} (π)}{2 \sec^{2} (π) \cdot \tan^{2} (π) + \sec^{4} (π)}$

Этап 6.2.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{- 2 \cdot 0^{2} \cdot \cos (π) + \cos^{3} (π)}{2 \sec^{2} (π) \cdot \tan^{2} (π) + \sec^{4} (π)}$

Этап 6.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (π) + \cos^{3} (π)}{2 \sec^{2} (π) \cdot \tan^{2} (π) + \sec^{4} (π)}$

Этап 6.2.4

Умножим $- 2$ на $0$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{0 \cdot \cos (π) + \cos^{3} (π)}{2 \sec^{2} (π) \cdot \tan^{2} (π) + \sec^{4} (π)}$

Этап 6.2.5

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{0 \cdot (- \cos (0)) + \cos^{3} (π)}{2 \sec^{2} (π) \cdot \tan^{2} (π) + \sec^{4} (π)}$

Этап 6.2.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{0 \cdot (- 1 \cdot 1) + \cos^{3} (π)}{2 \sec^{2} (π) \cdot \tan^{2} (π) + \sec^{4} (π)}$

Этап 6.2.7

Умножим $0 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{0 \cdot - 1 + \cos^{3} (π)}{2 \sec^{2} (π) \cdot \tan^{2} (π) + \sec^{4} (π)}$

Этап 6.2.7.2

Умножим $0$ на $- 1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{0 + \cos^{3} (π)}{2 \sec^{2} (π) \cdot \tan^{2} (π) + \sec^{4} (π)}$

Этап 6.2.8

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{0 + {(- \cos (0))}^{3}}{2 \sec^{2} (π) \cdot \tan^{2} (π) + \sec^{4} (π)}$

Этап 6.2.9

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{0 + {(- 1 \cdot 1)}^{3}}{2 \sec^{2} (π) \cdot \tan^{2} (π) + \sec^{4} (π)}$

Этап 6.2.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{0 + {(- 1)}^{3}}{2 \sec^{2} (π) \cdot \tan^{2} (π) + \sec^{4} (π)}$

Этап 6.2.11

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{0 - 1}{2 \sec^{2} (π) \cdot \tan^{2} (π) + \sec^{4} (π)}$

Этап 6.2.12

Вычтем $1$ из $0$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{- 1}{2 \sec^{2} (π) \cdot \tan^{2} (π) + \sec^{4} (π)}$

Этап 6.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{- 1}{2 {(- \sec (0))}^{2} \cdot \tan^{2} (π) + \sec^{4} (π)}$

Этап 6.3.2

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{- 1}{2 {(- 1 \cdot 1)}^{2} \cdot \tan^{2} (π) + \sec^{4} (π)}$

Этап 6.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{- 1}{2 {(- 1)}^{2} \cdot \tan^{2} (π) + \sec^{4} (π)}$

Этап 6.3.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 1 \cdot \tan^{2} (π) + \sec^{4} (π)}$

Этап 6.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot \tan^{2} (π) + \sec^{4} (π)}$

Этап 6.3.6

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot {(- \tan (0))}^{2} + \sec^{4} (π)}$

Этап 6.3.7

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot {(- 0)}^{2} + \sec^{4} (π)}$

Этап 6.3.8

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 0^{2} + \sec^{4} (π)}$

Этап 6.3.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 0 + \sec^{4} (π)}$

Этап 6.3.10

Умножим $2$ на $0$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{- 1}{0 + \sec^{4} (π)}$

Этап 6.3.11

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{- 1}{0 + {(- \sec (0))}^{4}}$

Этап 6.3.12

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{- 1}{0 + {(- 1 \cdot 1)}^{4}}$

Этап 6.3.13

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{- 1}{0 + {(- 1)}^{4}}$

Этап 6.3.14

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{- 1}{0 + 1}$

Этап 6.3.15

Добавим $0$ и $1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{- 1}{1}$

Этап 6.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot - 1$

Этап 6.5

Умножим $- \frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{3}{2})$

Этап 6.5.2

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$\frac{3}{2}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3}{2}$

Десятичная форма:

$1.5$