Математический анализ Примеры

$lim_{x \to π} - \frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- lim_{x \to π} \frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Этап 1.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$- \frac{lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} \sec^{2} (x)}$

Этап 1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $π$ .

$- \frac{1}{lim_{x \to π} \sec^{2} (x)}$

Этап 1.4

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$- \frac{1}{{(lim_{x \to π} \sec (x))}^{2}}$

Этап 1.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$- \frac{1}{\sec^{2} (lim_{x \to π} x)}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$- \frac{1}{\sec^{2} (π)}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- \frac{1^{2}}{\sec^{2} (π)}$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (π)}$ в виде ${(\frac{1}{\sec (π)})}^{2}$ .

$- {(\frac{1}{\sec (π)})}^{2}$

Этап 3.3

Выразим $\sec (π)$ через синусы и косинусы.

$- {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (π)}})}^{2}$

Этап 3.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (π)}$ .

$- {(1 \cos (π))}^{2}$

Этап 3.5

Умножим $\cos (π)$ на $1$ .

$- \cos^{2} (π)$

Этап 3.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- {(- \cos (0))}^{2}$

Этап 3.7

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Этап 3.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- {(- 1)}^{2}$

Этап 3.9

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

${(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}$

Этап 3.9.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(- 1)}^{1 + 2}$

Этап 3.9.2

Добавим $1$ и $2$ .

${(- 1)}^{3}$

Этап 3.10

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 1$