Математический анализ Примеры

$lim_{x \to π} \frac{e^{\sin (x)} - 1}{x - π}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to π} e^{\sin (x)} - 1}{lim_{x \to π} x - π}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} e^{\sin (x)} - lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x - π}$

Этап 1.1.2.1.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{x \to π} \sin (x)} - lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x - π}$

Этап 1.1.2.1.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{e^{\sin (lim_{x \to π} x)} - lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x - π}$

Этап 1.1.2.1.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $π$ .

$\frac{e^{\sin (lim_{x \to π} x)} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to π} x - π}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{e^{\sin (π)} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to π} x - π}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{e^{\sin (0)} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to π} x - π}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to π} x - π}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to π} x - π}$

Этап 1.1.2.3.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to π} x - π}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} x - π}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} x - lim_{x \to π} π}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $π$ , который является константой по мере приближения $x$ к $π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} x - π}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{0}{π - π}$

Этап 1.1.3.3

Вычтем $π$ из $π$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to π} \frac{e^{\sin (x)} - 1}{x - π} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [e^{\sin (x)} - 1]}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [e^{\sin (x)} - 1]}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $e^{\sin (x)} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{\sin (x)}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [e^{\sin (x)}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{\sin (x)}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

Этап 1.3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to π} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

Этап 1.3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

Этап 1.3.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{e^{\sin (x)} \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{e^{\sin (x)} \cos (x) + 0}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

Этап 1.3.5

Добавим $e^{\sin (x)} \cos (x)$ и $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{e^{\sin (x)} \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $x - π$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$lim_{x \to π} \frac{e^{\sin (x)} \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{e^{\sin (x)} \cos (x)}{1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- π$ является константой относительно $x$ , производная $- π$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{e^{\sin (x)} \cos (x)}{1 + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{e^{\sin (x)} \cos (x)}{1}$

Этап 1.4

Разделим $e^{\sin (x)} \cos (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to π} e^{\sin (x)} \cos (x)$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$lim_{x \to π} e^{\sin (x)} \cdot lim_{x \to π} \cos (x)$

Этап 2.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to π} \sin (x)} \cdot lim_{x \to π} \cos (x)$

Этап 2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$e^{\sin (lim_{x \to π} x)} \cdot lim_{x \to π} \cos (x)$

Этап 2.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$e^{\sin (lim_{x \to π} x)} \cdot \cos (lim_{x \to π} x)$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $π$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$e^{\sin (π)} \cdot \cos (lim_{x \to π} x)$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$e^{\sin (π)} \cdot \cos (π)$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$e^{\sin (0)} \cdot \cos (π)$

Этап 4.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$e^{0} \cdot \cos (π)$

Этап 4.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 \cdot \cos (π)$

Этап 4.4

Умножим $\cos (π)$ на $1$ .

$\cos (π)$

Этап 4.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- \cos (0)$

Этап 4.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 4.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$