Математический анализ Примеры

$lim_{x \to π} \frac{{(x - π)}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Этап 1

Переведем $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ в $\csc^{2} (x)$ .

$lim_{x \to π} {(x - π)}^{2} \csc^{2} (x)$

Этап 2

Перепишем ${(x - π)}^{2} \csc^{2} (x)$ в виде $\frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$ .

$lim_{x \to π} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

Этап 3

Рассмотрим предел как левосторонний.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

Этап 4

Вычислим левосторонний предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to π^{-}} {(x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Этап 4.1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.2.1.1

Вынесем степень $2$ в выражении ${(x - π)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to π^{-}} x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Этап 4.1.1.2.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{{(lim_{x \to π^{-}} x - lim_{x \to π^{-}} π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Этап 4.1.1.2.1.3

Найдем предел $π$ , который является константой по мере приближения $x$ к $π$ .

$\frac{{(lim_{x \to π^{-}} x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Этап 4.1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{{(π - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Этап 4.1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.2.3.1

Вычтем $π$ из $π$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Этап 4.1.1.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Этап 4.1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

Этап 4.1.1.3.2

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ стремится к $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 4.1.1.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 4.1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 4.1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 4.1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 4.1.3.2

Перепишем ${(x - π)}^{2}$ в виде $(x - π) (x - π)$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [(x - π) (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 4.1.3.3

Развернем $(x - π) (x - π)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x (x - π) - π (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 4.1.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 4.1.3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π x - π (- π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 4.1.3.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x - π (- π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 4.1.3.4.1.2

Умножим $- π (- π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + 1 π π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 4.1.3.4.1.2.2

Умножим $π$ на $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 4.1.3.4.1.2.3

Возведем $π$ в степень $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 4.1.3.4.1.2.4

Возведем $π$ в степень $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π^{1}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 4.1.3.4.1.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1 + 1}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 4.1.3.4.1.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 4.1.3.4.2

Вычтем $π x$ из $x (- π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.4.2.1

Перенесем $x$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - π x - π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 4.1.3.4.2.2

Вычтем $π x$ из $- π x$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 4.1.3.5

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 π x + π^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 4.1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 4.1.3.7

Поскольку $- 2 π$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 π x$ по $x$ равна $- 2 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 4.1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 4.1.3.9

Умножим $- 2$ на $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 4.1.3.10

Поскольку $π^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $π^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π + 0}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 4.1.3.11

Добавим $2 x - 2 π$ и $0$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 4.1.3.12

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 2}$ и $g (x) = \csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.12.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\csc (x)$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Этап 4.1.3.12.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Этап 4.1.3.12.3

Заменим все вхождения $u$ на $\csc (x)$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Этап 4.1.3.13

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

Этап 4.1.3.14

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

Этап 4.1.3.15

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

Этап 4.1.3.16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

Этап 4.1.3.17

Вычтем $3$ из $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

Этап 4.1.3.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.18.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

Этап 4.1.3.18.2

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

Этап 4.1.3.18.3

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Этап 4.1.3.18.4

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.18.4.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $2 \sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Этап 4.1.3.18.4.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Этап 4.1.3.18.4.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Этап 4.1.3.18.5

Применим формулу двойного угла для синуса.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (2 x)}$

Этап 4.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x - 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 (x) - 2 π}{\sin (2 x)}$

Этап 4.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 π$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 (x) + 2 (- π)}{\sin (2 x)}$

Этап 4.1.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (- π)$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 (x - π)}{\sin (2 x)}$

Этап 4.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{x - π}{\sin (2 x)}$

Этап 4.3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$2 \frac{lim_{x \to π^{-}} x - π}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

Этап 4.3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$2 \frac{lim_{x \to π^{-}} x - lim_{x \to π^{-}} π}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

Этап 4.3.1.2.1.2

Найдем предел $π$ , который является константой по мере приближения $x$ к $π$ .

$2 \frac{lim_{x \to π^{-}} x - π}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

Этап 4.3.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$2 \frac{π - π}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

Этап 4.3.1.2.3

Вычтем $π$ из $π$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

Этап 4.3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$2 \frac{0}{\sin (lim_{x \to π^{-}} 2 x)}$

Этап 4.3.1.3.1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \frac{0}{\sin (2 lim_{x \to π^{-}} x)}$

Этап 4.3.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$2 \frac{0}{\sin (2 π)}$

Этап 4.3.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.3.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$2 \frac{0}{\sin (0)}$

Этап 4.3.1.3.3.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 4.3.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 4.3.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 4.3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 4.3.2

$lim_{x \to π^{-}} \frac{x - π}{\sin (2 x)} = lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x - π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 4.3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x - π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 4.3.3.2

По правилу суммы производная $x - π$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 4.3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 4.3.3.4

Поскольку $- π$ является константой относительно $x$ , производная $- π$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 4.3.3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 4.3.3.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 4.3.3.6.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 4.3.3.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 4.3.3.7

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 4.3.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}$

Этап 4.3.3.9

Умножим $2$ на $1$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Этап 4.3.3.10

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Этап 4.4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x)}$

Этап 4.4.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to π^{-}} 1}{lim_{x \to π^{-}} \cos (2 x)}$

Этап 4.4.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $π$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{lim_{x \to π^{-}} \cos (2 x)}$

Этап 4.4.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (lim_{x \to π^{-}} 2 x)}$

Этап 4.4.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to π^{-}} x)}$

Этап 4.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 π)}$

Этап 4.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 π)}$

Этап 4.6.1.2

Перепишем это выражение.

$1 \frac{1}{\cos (2 π)}$

Этап 4.6.2

Умножим $\frac{1}{\cos (2 π)}$ на $1$ .

$\frac{1}{\cos (2 π)}$

Этап 4.6.3

Переведем $\frac{1}{\cos (2 π)}$ в $\sec (2 π)$ .

$\sec (2 π)$

Этап 4.6.4

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\sec (0)$

Этап 4.6.5

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$1$

Этап 5

Рассмотрим предел как правосторонний.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

Этап 6

Вычислим правосторонний предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to π^{+}} {(x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Этап 6.1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1.1

Вынесем степень $2$ в выражении ${(x - π)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to π^{+}} x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Этап 6.1.1.2.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{{(lim_{x \to π^{+}} x - lim_{x \to π^{+}} π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Этап 6.1.1.2.1.3

Найдем предел $π$ , который является константой по мере приближения $x$ к $π$ .

$\frac{{(lim_{x \to π^{+}} x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Этап 6.1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{{(π - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Этап 6.1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.3.1

Вычтем $π$ из $π$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Этап 6.1.1.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Этап 6.1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

Этап 6.1.1.3.2

$\frac{0}{0}$

Этап 6.1.1.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 6.1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 6.1.2

$lim_{x \to π^{+}} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 6.1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 6.1.3.2

Перепишем ${(x - π)}^{2}$ в виде $(x - π) (x - π)$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [(x - π) (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 6.1.3.3

Развернем $(x - π) (x - π)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x (x - π) - π (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 6.1.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 6.1.3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π x - π (- π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 6.1.3.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x - π (- π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 6.1.3.4.1.2

Умножим $- π (- π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + 1 π π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 6.1.3.4.1.2.2

Умножим $π$ на $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 6.1.3.4.1.2.3

Возведем $π$ в степень $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 6.1.3.4.1.2.4

Возведем $π$ в степень $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π^{1}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 6.1.3.4.1.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1 + 1}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 6.1.3.4.1.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 6.1.3.4.2

Вычтем $π x$ из $x (- π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.4.2.1

Перенесем $x$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - π x - π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 6.1.3.4.2.2

Вычтем $π x$ из $- π x$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 6.1.3.5

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 π x + π^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 6.1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 6.1.3.7

Поскольку $- 2 π$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 π x$ по $x$ равна $- 2 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 6.1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 6.1.3.9

Умножим $- 2$ на $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 6.1.3.10

Поскольку $π^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $π^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π + 0}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 6.1.3.11

Добавим $2 x - 2 π$ и $0$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 6.1.3.12

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.12.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\csc (x)$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Этап 6.1.3.12.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Этап 6.1.3.12.3

Заменим все вхождения $u$ на $\csc (x)$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Этап 6.1.3.13

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

Этап 6.1.3.14

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

Этап 6.1.3.15

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

Этап 6.1.3.16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

Этап 6.1.3.17

Вычтем $3$ из $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

Этап 6.1.3.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.18.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

Этап 6.1.3.18.2

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

Этап 6.1.3.18.3

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Этап 6.1.3.18.4

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.18.4.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $2 \sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Этап 6.1.3.18.4.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Этап 6.1.3.18.4.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Этап 6.1.3.18.5

Применим формулу двойного угла для синуса.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (2 x)}$

Этап 6.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x - 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 (x) - 2 π}{\sin (2 x)}$

Этап 6.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 π$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 (x) + 2 (- π)}{\sin (2 x)}$

Этап 6.1.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (- π)$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 (x - π)}{\sin (2 x)}$

Этап 6.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{x - π}{\sin (2 x)}$

Этап 6.3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$2 \frac{lim_{x \to π^{+}} x - π}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

Этап 6.3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$2 \frac{lim_{x \to π^{+}} x - lim_{x \to π^{+}} π}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

Этап 6.3.1.2.1.2

Найдем предел $π$ , который является константой по мере приближения $x$ к $π$ .

$2 \frac{lim_{x \to π^{+}} x - π}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

Этап 6.3.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$2 \frac{π - π}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

Этап 6.3.1.2.3

Вычтем $π$ из $π$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

Этап 6.3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$2 \frac{0}{\sin (lim_{x \to π^{+}} 2 x)}$

Этап 6.3.1.3.1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \frac{0}{\sin (2 lim_{x \to π^{+}} x)}$

Этап 6.3.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$2 \frac{0}{\sin (2 π)}$

Этап 6.3.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.3.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$2 \frac{0}{\sin (0)}$

Этап 6.3.1.3.3.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 6.3.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 6.3.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 6.3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 6.3.2

$lim_{x \to π^{+}} \frac{x - π}{\sin (2 x)} = lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x - π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 6.3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x - π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 6.3.3.2

По правилу суммы производная $x - π$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 6.3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 6.3.3.4

Поскольку $- π$ является константой относительно $x$ , производная $- π$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 6.3.3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 6.3.3.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 6.3.3.6.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 6.3.3.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 6.3.3.7

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}$

Этап 6.3.3.9

Умножим $2$ на $1$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Этап 6.3.3.10

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Этап 6.4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x)}$

Этап 6.4.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to π^{+}} 1}{lim_{x \to π^{+}} \cos (2 x)}$

Этап 6.4.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $π$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{lim_{x \to π^{+}} \cos (2 x)}$

Этап 6.4.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (lim_{x \to π^{+}} 2 x)}$

Этап 6.4.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to π^{+}} x)}$

Этап 6.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 π)}$

Этап 6.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 π)}$

Этап 6.6.1.2

Перепишем это выражение.

$1 \frac{1}{\cos (2 π)}$

Этап 6.6.2

Умножим $\frac{1}{\cos (2 π)}$ на $1$ .

$\frac{1}{\cos (2 π)}$

Этап 6.6.3

Переведем $\frac{1}{\cos (2 π)}$ в $\sec (2 π)$ .

$\sec (2 π)$

Этап 6.6.4

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\sec (0)$

Этап 6.6.5

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$1$

Этап 7

Так как левосторонний предел совпадает с правосторонним, предел равен $1$ .

$1$