Математический анализ Примеры

$lim_{x \to π} \frac{1 - \sin (x)}{2 + 2 \cos (2 x)}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} 1 - \sin (x)}{lim_{x \to π} 2 + 2 \cos (2 x)}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} 1 - lim_{x \to π} \sin (x)}{lim_{x \to π} 2 + 2 \cos (2 x)}$

Этап 3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $π$ .

$\frac{1 - lim_{x \to π} \sin (x)}{lim_{x \to π} 2 + 2 \cos (2 x)}$

Этап 4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} 2 + 2 \cos (2 x)}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} 2 + lim_{x \to π} 2 \cos (2 x)}$

Этап 6

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $π$ .

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to π} x)}{2 + lim_{x \to π} 2 \cos (2 x)}$

Этап 7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to π} x)}{2 + 2 lim_{x \to π} \cos (2 x)}$

Этап 8

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to π} x)}{2 + 2 \cos (lim_{x \to π} 2 x)}$

Этап 9

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to π} x)}{2 + 2 \cos (2 lim_{x \to π} x)}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $π$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{1 - \sin (π)}{2 + 2 \cos (2 lim_{x \to π} x)}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{1 - \sin (π)}{2 + 2 \cos (2 π)}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{1 - \sin (0)}{2 + 2 \cos (2 π)}$

Этап 11.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1 - 0}{2 + 2 \cos (2 π)}$

Этап 11.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1 + 0}{2 + 2 \cos (2 π)}$

Этап 11.1.4

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{2 + 2 \cos (2 π)}$

Этап 11.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{1}{2 + 2 \cos (0)}$

Этап 11.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2 + 2 \cdot 1}$

Этап 11.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2 + 2}$

Этап 11.2.4

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{4}$

Десятичная форма:

$0.25$