Математический анализ Примеры

$lim_{x \to π} \frac{12 \cos (12 x)}{4 \cos (4 x)}$

Этап 1

Сократим общий множитель $12$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $4$ из $12 \cos (12 x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 (3 \cos (12 x))}{4 \cos (4 x)}$

Этап 1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \cos (4 x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 (3 \cos (12 x))}{4 (\cos (4 x))}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to π} \frac{4 (3 \cos (12 x))}{4 \cos (4 x)}$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to π} \frac{3 \cos (12 x)}{\cos (4 x)}$

Этап 2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 lim_{x \to π} \frac{\cos (12 x)}{\cos (4 x)}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$3 \frac{lim_{x \to π} \cos (12 x)}{lim_{x \to π} \cos (4 x)}$

Этап 4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$3 \frac{\cos (lim_{x \to π} 12 x)}{lim_{x \to π} \cos (4 x)}$

Этап 5

Вынесем член $12$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 \frac{\cos (12 lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} \cos (4 x)}$

Этап 6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$3 \frac{\cos (12 lim_{x \to π} x)}{\cos (lim_{x \to π} 4 x)}$

Этап 7

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 \frac{\cos (12 lim_{x \to π} x)}{\cos (4 lim_{x \to π} x)}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $π$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$3 \frac{\cos (12 π)}{\cos (4 lim_{x \to π} x)}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$3 \frac{\cos (12 π)}{\cos (4 π)}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$3 \frac{\cos (0)}{\cos (4 π)}$

Этап 9.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$3 \frac{1}{\cos (4 π)}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$3 \frac{1}{\cos (0)}$

Этап 9.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$3 (\frac{1}{1})$

Этап 9.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{1}{1})$

Этап 9.3.2

Перепишем это выражение.

$3 \cdot 1$

Этап 9.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$