Математический анализ Примеры

$lim_{z \to 4} z^{\frac{3}{2}} - 3 z^{\frac{1}{2}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $z$ к $4$ .

$lim_{z \to 4} z^{\frac{3}{2}} - lim_{z \to 4} 3 z^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Вынесем степень $\frac{3}{2}$ в выражении $z^{\frac{3}{2}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{z \to 4} z)}^{\frac{3}{2}} - lim_{z \to 4} 3 z^{\frac{1}{2}}$

Этап 3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $z$ .

${(lim_{z \to 4} z)}^{\frac{3}{2}} - 3 lim_{z \to 4} z^{\frac{1}{2}}$

Этап 4

Вынесем степень $\frac{1}{2}$ в выражении $z^{\frac{1}{2}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{z \to 4} z)}^{\frac{3}{2}} - 3 {(lim_{z \to 4} z)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $4$ для всех вхождений $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $z$ , подставив значение $4$ для $z$ .

$4^{\frac{3}{2}} - 3 {(lim_{z \to 4} z)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 5.2

Найдем предел $z$ , подставив значение $4$ для $z$ .

$4^{\frac{3}{2}} - 3 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

${(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - 3 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2 (\frac{3}{2})} - 3 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Сократим общий множитель.

$2^{2 (\frac{3}{2})} - 3 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.1.3.2

Перепишем это выражение.

$2^{3} - 3 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.1.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 - 3 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.1.5

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$8 - 3 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.1.6

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 - 3 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 6.1.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.7.1

Сократим общий множитель.

$8 - 3 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 6.1.7.2

Перепишем это выражение.

$8 - 3 \cdot 2^{1}$

Этап 6.1.8

Найдем экспоненту.

$8 - 3 \cdot 2$

Этап 6.1.9

Умножим $- 3$ на $2$ .

$8 - 6$

Этап 6.2

Вычтем $6$ из $8$ .

$2$