Математический анализ Примеры

$lim_{y \to 2} \frac{6 (y^{2} - 16)}{5 {(y - 4)}^{3}}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{6}{5}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $y$ .

$\frac{6}{5} lim_{y \to 2} \frac{y^{2} - 16}{{(y - 4)}^{3}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $y$ к $2$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{lim_{y \to 2} y^{2} - 16}{lim_{y \to 2} {(y - 4)}^{3}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $y$ к $2$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{lim_{y \to 2} y^{2} - lim_{y \to 2} 16}{lim_{y \to 2} {(y - 4)}^{3}}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $y^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{6}{5} \cdot \frac{{(lim_{y \to 2} y)}^{2} - lim_{y \to 2} 16}{lim_{y \to 2} {(y - 4)}^{3}}$

Этап 5

Найдем предел $16$ , который является константой по мере приближения $y$ к $2$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{{(lim_{y \to 2} y)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{y \to 2} {(y - 4)}^{3}}$

Этап 6

Вынесем степень $3$ в выражении ${(y - 4)}^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{6}{5} \cdot \frac{{(lim_{y \to 2} y)}^{2} - 1 \cdot 16}{{(lim_{y \to 2} y - 4)}^{3}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $y$ к $2$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{{(lim_{y \to 2} y)}^{2} - 1 \cdot 16}{{(lim_{y \to 2} y - lim_{y \to 2} 4)}^{3}}$

Этап 8

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $y$ к $2$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{{(lim_{y \to 2} y)}^{2} - 1 \cdot 16}{{(lim_{y \to 2} y - 1 \cdot 4)}^{3}}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $y$ , подставив значение $2$ для $y$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{2^{2} - 1 \cdot 16}{{(lim_{y \to 2} y - 1 \cdot 4)}^{3}}$

Этап 9.2

Найдем предел $y$ , подставив значение $2$ для $y$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{2^{2} - 1 \cdot 16}{{(2 - 1 \cdot 4)}^{3}}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{4 - 1 \cdot 16}{{(2 - 1 \cdot 4)}^{3}}$

Этап 10.1.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{4 - 16}{{(2 - 1 \cdot 4)}^{3}}$

Этап 10.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{- 12}{{(2 - 1 \cdot 4)}^{3}}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{- 12}{{(2 - 4)}^{3}}$

Этап 10.2.2

Вычтем $4$ из $2$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{- 12}{{(- 2)}^{3}}$

Этап 10.2.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{- 12}{- 8}$

Этап 10.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (3)}{5} \cdot \frac{- 12}{- 8}$

Этап 10.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$\frac{2 \cdot 3}{5} \cdot \frac{- 12}{2 \cdot - 4}$

Этап 10.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3}{5} \cdot \frac{- 12}{2 \cdot - 4}$

Этап 10.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{- 12}{- 4}$

Этап 10.4

Умножим $\frac{3}{5}$ на $\frac{- 12}{- 4}$ .

$\frac{3 \cdot - 12}{5 \cdot - 4}$

Этап 10.5

Умножим $3$ на $- 12$ .

$\frac{- 36}{5 \cdot - 4}$

Этап 10.6

Умножим $5$ на $- 4$ .

$\frac{- 36}{- 20}$

Этап 10.7

Сократим общий множитель $- 36$ и $- 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 36$ .

$\frac{- 4 (9)}{- 20}$

Этап 10.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 20$ .

$\frac{- 4 \cdot 9}{- 4 \cdot 5}$

Этап 10.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 \cdot 9}{- 4 \cdot 5}$

Этап 10.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{5}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{9}{5}$

Десятичная форма:

$1.8$