Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 0} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}} - 1}{{(1 - 3 x)}^{\frac{1}{5}} - 1}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}} - lim_{x \to 0} 1}{{(1 - 3 x)}^{\frac{1}{5}} - 1}$

Этап 1.2

Вынесем степень $\frac{1}{3}$ в выражении ${(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0} 1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}} - lim_{x \to 0} 1}{{(1 - 3 x)}^{\frac{1}{5}} - 1}$

Этап 1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 4 x)}^{\frac{1}{3}} - lim_{x \to 0} 1}{{(1 - 3 x)}^{\frac{1}{5}} - 1}$

Этап 1.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{{(1 - lim_{x \to 0} 4 x)}^{\frac{1}{3}} - lim_{x \to 0} 1}{{(1 - 3 x)}^{\frac{1}{5}} - 1}$

Этап 1.5

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(1 - 4 lim_{x \to 0} x)}^{\frac{1}{3}} - lim_{x \to 0} 1}{{(1 - 3 x)}^{\frac{1}{5}} - 1}$

Этап 1.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{{(1 - 4 lim_{x \to 0} x)}^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot 1}{{(1 - 3 x)}^{\frac{1}{5}} - 1}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{{(1 - 4 \cdot 0)}^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot 1}{{(1 - 3 x)}^{\frac{1}{5}} - 1}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $- 4$ на $0$ .

$\frac{{(1 + 0)}^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot 1}{{(1 - 3 x)}^{\frac{1}{5}} - 1}$

Этап 3.1.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot 1}{{(1 - 3 x)}^{\frac{1}{5}} - 1}$

Этап 3.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{{(1 - 3 x)}^{\frac{1}{5}} - 1}$

Этап 3.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{{(1 - 3 x)}^{\frac{1}{5}} - 1}$

Этап 3.1.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{{(1 - 3 x)}^{\frac{1}{5}} - 1}$

Этап 3.2

Разделим $0$ на ${(1 - 3 x)}^{\frac{1}{5}} - 1$ .

$0$