Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{n \to 8} {(2 n)}^{3} + 12 n^{2} - 20}{12 n^{2} + n}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} {(2 n)}^{3} + lim_{n \to 8} 12 n^{2} - lim_{n \to 8} 20}{12 n^{2} + n}$

Этап 2

Вынесем степень $3$ в выражении ${(2 n)}^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{n \to 8} 2 n)}^{3} + lim_{n \to 8} 12 n^{2} - lim_{n \to 8} 20}{12 n^{2} + n}$

Этап 3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{{(2 lim_{n \to 8} n)}^{3} + lim_{n \to 8} 12 n^{2} - lim_{n \to 8} 20}{12 n^{2} + n}$

Этап 4

Вынесем член $12$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{{(2 lim_{n \to 8} n)}^{3} + 12 lim_{n \to 8} n^{2} - lim_{n \to 8} 20}{12 n^{2} + n}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $n^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(2 lim_{n \to 8} n)}^{3} + 12 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - lim_{n \to 8} 20}{12 n^{2} + n}$

Этап 6

Найдем предел $20$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{{(2 lim_{n \to 8} n)}^{3} + 12 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 1 \cdot 20}{12 n^{2} + n}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{{(2 \cdot 8)}^{3} + 12 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 1 \cdot 20}{12 n^{2} + n}$

Этап 7.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{{(2 \cdot 8)}^{3} + 12 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 20}{12 n^{2} + n}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{16^{3} + 12 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 20}{12 n^{2} + n}$

Этап 8.1.2

Возведем $16$ в степень $3$ .

$\frac{4096 + 12 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 20}{12 n^{2} + n}$

Этап 8.1.3

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{4096 + 12 \cdot 64 - 1 \cdot 20}{12 n^{2} + n}$

Этап 8.1.4

Умножим $12$ на $64$ .

$\frac{4096 + 768 - 1 \cdot 20}{12 n^{2} + n}$

Этап 8.1.5

Умножим $- 1$ на $20$ .

$\frac{4096 + 768 - 20}{12 n^{2} + n}$

Этап 8.1.6

Добавим $4096$ и $768$ .

$\frac{4864 - 20}{12 n^{2} + n}$

Этап 8.1.7

Вычтем $20$ из $4864$ .

$\frac{4844}{12 n^{2} + n}$

Этап 8.2

Вынесем множитель $n$ из $12 n^{2} + n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $n$ из $12 n^{2}$ .

$\frac{4844}{n (12 n) + n}$

Этап 8.2.2

Возведем $n$ в степень $1$ .

$\frac{4844}{n (12 n) + n^{1}}$

Этап 8.2.3

Вынесем множитель $n$ из $n^{1}$ .

$\frac{4844}{n (12 n) + n \cdot 1}$

Этап 8.2.4

Вынесем множитель $n$ из $n (12 n) + n \cdot 1$ .

$\frac{4844}{n (12 n + 1)}$