Математический анализ Примеры

$\frac{\frac{lim_{h \to 0} 1}{{(h + 2)}^{2}} - \frac{1}{4}}{h}$

Этап 1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{\frac{1}{{(h + 2)}^{2}} - \frac{1}{4}}{h}$

Этап 2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{{(h + 2)}^{2}} - \frac{1}{4}}{h}$

Этап 2.1.2

Перепишем $\frac{1^{2}}{{(h + 2)}^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{h + 2})}^{2}$ .

$\frac{{(\frac{1}{h + 2})}^{2} - \frac{1}{4}}{h}$

Этап 2.1.3

Перепишем $\frac{1}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\frac{{(\frac{1}{h + 2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{h}$

Этап 2.1.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{1}{h + 2}$ и $b = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(\frac{1}{h + 2} + \frac{1}{2}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Этап 2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Чтобы записать $\frac{1}{h + 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(\frac{1}{h + 2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Этап 2.1.5.2

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{h + 2}{h + 2}$ .

$\frac{(\frac{1}{h + 2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{h + 2}{h + 2}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Этап 2.1.5.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(h + 2) \cdot 2$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.3.1

Умножим $\frac{1}{h + 2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(\frac{2}{(h + 2) \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{h + 2}{h + 2}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Этап 2.1.5.3.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{h + 2}{h + 2}$ .

$\frac{(\frac{2}{(h + 2) \cdot 2} + \frac{h + 2}{2 (h + 2)}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Этап 2.1.5.3.3

Изменим порядок множителей в $(h + 2) \cdot 2$ .

$\frac{(\frac{2}{2 (h + 2)} + \frac{h + 2}{2 (h + 2)}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Этап 2.1.5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 + h + 2}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Этап 2.1.5.5

Изменим порядок членов.

$\frac{\frac{h + 2 + 2}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Этап 2.1.5.6

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Этап 2.1.5.7

Чтобы записать $\frac{1}{h + 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})}{h}$

Этап 2.1.5.8

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{h + 2}{h + 2}$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{h + 2}{h + 2})}{h}$

Этап 2.1.5.9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(h + 2) \cdot 2$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.9.1

Умножим $\frac{1}{h + 2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{2}{(h + 2) \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{h + 2}{h + 2})}{h}$

Этап 2.1.5.9.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{h + 2}{h + 2}$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{2}{(h + 2) \cdot 2} - \frac{h + 2}{2 (h + 2)})}{h}$

Этап 2.1.5.9.3

Изменим порядок множителей в $(h + 2) \cdot 2$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{2}{2 (h + 2)} - \frac{h + 2}{2 (h + 2)})}{h}$

Этап 2.1.5.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{2 - (h + 2)}{2 (h + 2)}}{h}$

Этап 2.1.5.11

Перепишем $\frac{2 - (h + 2)}{2 (h + 2)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{2 - h - 1 \cdot 2}{2 (h + 2)}}{h}$

Этап 2.1.5.11.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{2 - h - 2}{2 (h + 2)}}{h}$

Этап 2.1.5.11.3

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{- h + 0}{2 (h + 2)}}{h}$

Этап 2.1.5.11.4

Добавим $- h$ и $0$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{- h}{2 (h + 2)}}{h}$

Этап 2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot - 1 \frac{h}{2 (h + 2)}}{h}$

Этап 2.1.7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{- (\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{h}{2 (h + 2)})}{h}$

Этап 2.1.7.2

Умножим $\frac{h + 4}{2 (h + 2)}$ на $\frac{h}{2 (h + 2)}$ .

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{2 (h + 2) (2 (h + 2))}}{h}$

Этап 2.1.7.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 (h + 2) (h + 2)}}{h}$

Этап 2.1.7.4

Возведем $h + 2$ в степень $1$ .

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 ({(h + 2)}^{1} (h + 2))}}{h}$

Этап 2.1.7.5

Возведем $h + 2$ в степень $1$ .

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 ({(h + 2)}^{1} {(h + 2)}^{1})}}{h}$

Этап 2.1.7.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{1 + 1}}}{h}$

Этап 2.1.7.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{2}}}{h}$

Этап 2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{(h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{(h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{2}}$ в числитель.

$\frac{- (h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 2.3.2

Вынесем множитель $h$ из $- (h + 4) h$ .

$\frac{h (- (h + 4))}{4 {(h + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 2.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{h (- (h + 4))}{4 {(h + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 2.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- (h + 4)}{4 {(h + 2)}^{2}}$

Этап 2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{h + 4}{4 {(h + 2)}^{2}}$