Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 1} 1 + 3 x^{3}}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} 3 x^{3}}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Этап 1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{1 + lim_{x \to 1} 3 x^{3}}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Этап 1.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 + 3 lim_{x \to 1} x^{3}}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Этап 1.4

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1 + 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1 + 3 \cdot 1^{3}}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 + 3 \cdot 1}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Этап 3.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1 + 3}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Этап 3.1.3

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{4}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Этап 3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Изменим порядок членов.

$\frac{4}{{(3 x^{4} + 4 x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.2.1.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ , а сумма — $b = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{4}{{(3 x^{4} + 4 (x^{2}) + 1)}^{3}}$

Этап 3.2.1.2.2

Запишем $4$ как $1$ плюс $3$

$\frac{4}{{(3 x^{4} + (1 + 3) x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4}{{(3 x^{4} + 1 x^{2} + 3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.2.1.2.4

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{4}{{(3 x^{4} + x^{2} + 3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.2.1.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{4}{{((3 x^{4} + x^{2}) + 3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.2.1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{4}{{(x^{2} (3 x^{2} + 1) + 1 (3 x^{2} + 1))}^{3}}$

Этап 3.2.1.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x^{2} + 1$ .

$\frac{4}{{((3 x^{2} + 1) (x^{2} + 1))}^{3}}$

Этап 3.2.2

Применим правило умножения к $(3 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\frac{4}{{(3 x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 1)}^{3}}$