Математический анализ Примеры

$lim_{y \to 0} 5 y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))}$

Этап 1

Рассмотрим предел как левосторонний.

$lim_{y \to 0^{-}} 5 y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))}$

Этап 2

Вычислим пределы, подставив значение переменной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел $5 y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))}$ , подставив значение $0$ для $y$ .

$5 \cdot 0^{2 \cot (- 5 \cdot 0) \csc (- 8 \cdot 0)}$

Этап 2.2

Выразим $\cot (- 5 \cdot 0)$ через синусы и косинусы.

$5 \cdot 0^{2 \frac{\cos (- 5 \cdot 0)}{\sin (- 5 \cdot 0)} \csc (- 8 \cdot 0)}$

Этап 2.3

Умножим $- 5$ на $0$ .

$5 \cdot 0^{2 \frac{\cos (- 5 \cdot 0)}{\sin (0)} \csc (- 8 \cdot 0)}$

Этап 2.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$5 \cdot 0^{2 \frac{\cos (- 5 \cdot 0)}{0} \csc (- 8 \cdot 0)}$

Этап 2.5

Так как выражение $5 \cdot 0^{2 \frac{\cos (- 5 \cdot 0)}{0} \csc (- 8 \cdot 0)}$ не определено, предел не существует.

$Не существует$

Этап 3

Рассмотрим предел как правосторонний.

$lim_{y \to 0^{+}} 5 y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))}$

Этап 4

Вычислим правосторонний предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $y$ .

$5 lim_{y \to 0^{+}} y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))}$

Этап 4.2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))}$ в виде $e^{\ln (y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))})}$ .

$5 lim_{y \to 0^{+}} e^{\ln (y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))})}$

Этап 4.2.2

Развернем $\ln (y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))})$ , вынося $2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))$ из логарифма.

$5 lim_{y \to 0^{+}} e^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y)) \ln (y)}$

Этап 4.3

Поскольку показатель степени $2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y)) \ln (y)$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y)) \ln (y)}$ стремится к $0$ .

$5 \cdot 0$

Этап 4.4

Умножим $5$ на $0$ .

$0$

Этап 5

Если право- или левостороннего предел не существует, предел не существует.

$Не существует$