Математический анализ Примеры

$lim_{y \to 1} \sec (y \sec^{2} (y) - \tan^{2} (y - 1))$

Этап 1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\sec (lim_{y \to 1} y \sec^{2} (y) - \tan^{2} (y - 1))$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $y$ к $1$ .

$\sec (lim_{y \to 1} y \sec^{2} (y) - lim_{y \to 1} \tan^{2} (y - 1))$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $y$ к $1$ .

$\sec (lim_{y \to 1} y \cdot lim_{y \to 1} \sec^{2} (y) - lim_{y \to 1} \tan^{2} (y - 1))$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (y)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sec (lim_{y \to 1} y \cdot {(lim_{y \to 1} \sec (y))}^{2} - lim_{y \to 1} \tan^{2} (y - 1))$

Этап 5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\sec (lim_{y \to 1} y \cdot \sec^{2} (lim_{y \to 1} y) - lim_{y \to 1} \tan^{2} (y - 1))$

Этап 6

Вынесем степень $2$ в выражении $\tan^{2} (y - 1)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sec (lim_{y \to 1} y \cdot \sec^{2} (lim_{y \to 1} y) - {(lim_{y \to 1} \tan (y - 1))}^{2})$

Этап 7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\sec (lim_{y \to 1} y \cdot \sec^{2} (lim_{y \to 1} y) - \tan^{2} (lim_{y \to 1} y - 1))$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $y$ к $1$ .

$\sec (lim_{y \to 1} y \cdot \sec^{2} (lim_{y \to 1} y) - \tan^{2} (lim_{y \to 1} y - lim_{y \to 1} 1))$

Этап 9

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $y$ к $1$ .

$\sec (lim_{y \to 1} y \cdot \sec^{2} (lim_{y \to 1} y) - \tan^{2} (lim_{y \to 1} y - 1 \cdot 1))$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $y$ , подставив значение $1$ для $y$ .

$\sec (1 \cdot \sec^{2} (lim_{y \to 1} y) - \tan^{2} (lim_{y \to 1} y - 1 \cdot 1))$

Этап 10.2

Найдем предел $y$ , подставив значение $1$ для $y$ .

$\sec (1 \cdot \sec^{2} (1) - \tan^{2} (lim_{y \to 1} y - 1 \cdot 1))$

Этап 10.3

Найдем предел $y$ , подставив значение $1$ для $y$ .

$\sec (1 \cdot \sec^{2} (1) - \tan^{2} (1 - 1 \cdot 1))$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Умножим $\sec^{2} (1)$ на $1$ .

$\sec (\sec^{2} (1) - \tan^{2} (1 - 1 \cdot 1))$

Этап 11.1.2

Найдем значение $\sec (1)$ .

$\sec ({1.00015232}^{2} - \tan^{2} (1 - 1 \cdot 1))$

Этап 11.1.3

Возведем $1.00015232$ в степень $2$ .

$\sec (1.00030467 - \tan^{2} (1 - 1 \cdot 1))$

Этап 11.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\sec (1.00030467 - \tan^{2} (1 - 1))$

Этап 11.1.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$\sec (1.00030467 - \tan^{2} (0))$

Этап 11.1.6

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\sec (1.00030467 - 0^{2})$

Этап 11.1.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\sec (1.00030467 - 0)$

Этап 11.1.8

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\sec (1.00030467 + 0)$

Этап 11.2

Добавим $1.00030467$ и $0$ .

$\sec (1.00030467)$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\sec (1.00030467)$

Десятичная форма:

$1.85169445 \dots$