Математический анализ Примеры

$lim_{y \to - 1} {(\frac{4 y^{3} + 8 y}{y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 1

Вынесем степень $\frac{1}{3}$ в выражении ${(\frac{4 y^{3} + 8 y}{y + 4})}^{\frac{1}{3}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{y \to - 1} \frac{4 y^{3} + 8 y}{y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $y$ к $- 1$ .

${(\frac{lim_{y \to - 1} 4 y^{3} + 8 y}{lim_{y \to - 1} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $y$ к $- 1$ .

${(\frac{lim_{y \to - 1} 4 y^{3} + lim_{y \to - 1} 8 y}{lim_{y \to - 1} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $y$ .

${(\frac{4 lim_{y \to - 1} y^{3} + lim_{y \to - 1} 8 y}{lim_{y \to - 1} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 5

Вынесем степень $3$ в выражении $y^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(\frac{4 {(lim_{y \to - 1} y)}^{3} + lim_{y \to - 1} 8 y}{lim_{y \to - 1} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 6

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $y$ .

${(\frac{4 {(lim_{y \to - 1} y)}^{3} + 8 lim_{y \to - 1} y}{lim_{y \to - 1} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $y$ к $- 1$ .

${(\frac{4 {(lim_{y \to - 1} y)}^{3} + 8 lim_{y \to - 1} y}{lim_{y \to - 1} y + lim_{y \to - 1} 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 8

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $y$ к $- 1$ .

${(\frac{4 {(lim_{y \to - 1} y)}^{3} + 8 lim_{y \to - 1} y}{lim_{y \to - 1} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $y$ , подставив значение $- 1$ для $y$ .

${(\frac{4 {(- 1)}^{3} + 8 lim_{y \to - 1} y}{lim_{y \to - 1} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 9.2

Найдем предел $y$ , подставив значение $- 1$ для $y$ .

${(\frac{4 {(- 1)}^{3} + 8 \cdot - 1}{lim_{y \to - 1} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 9.3

Найдем предел $y$ , подставив значение $- 1$ для $y$ .

${(\frac{4 {(- 1)}^{3} + 8 \cdot - 1}{- 1 + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

${(\frac{4 \cdot - 1 + 8 \cdot - 1}{- 1 + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 10.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

${(\frac{- 4 + 8 \cdot - 1}{- 1 + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 10.1.3

Умножим $8$ на $- 1$ .

${(\frac{- 4 - 8}{- 1 + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 10.1.4

Вычтем $8$ из $- 4$ .

${(\frac{- 12}{- 1 + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 10.2

Добавим $- 1$ и $4$ .

${(\frac{- 12}{3})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 10.3

Разделим $- 12$ на $3$ .

${(- 4)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

${(- 4)}^{\frac{1}{3}}$

Десятичная форма:

$- 1.58740105 \dots$