Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln ({(x)}^{2})}{e^{\frac{1}{x}}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln ({(x)}^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{1}{x}}}$

Этап 1.1.2

Когда $x$ стремится к $0$ справа, $\ln ({(x)}^{2})$ неограниченно убывает.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{1}{x}}}$

Этап 1.1.3

Поскольку показатель степени $\frac{1}{x}$ стремится к $\infty$ , величина $e^{\frac{1}{x}}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{- \infty}{\infty}$

Этап 1.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{- \infty}{\infty}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{- \infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln ({(x)}^{2})}{e^{\frac{1}{x}}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln ({(x)}^{2})]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln ({(x)}^{2})]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = {(x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как ${(x)}^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [{(x)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Этап 1.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [{(x)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на ${(x)}^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Этап 1.3.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Этап 1.3.5

Объединим $\frac{2}{x^{2}}$ и $x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 x}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Этап 1.3.6

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x \cdot 2}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Этап 1.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Этап 1.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Этап 1.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Этап 1.3.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 1.3.7.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 1.3.8

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Этап 1.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})}$

Этап 1.3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x^{2}})}$

Этап 1.3.10.2

Объединим $e^{\frac{1}{x}}$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{x} (- \frac{x^{2}}{e^{\frac{1}{x}}})$

Этап 1.5

Умножим $\frac{2}{x}$ на $\frac{x^{2}}{e^{\frac{1}{x}}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{2 x^{2}}{x e^{\frac{1}{x}}}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x (2 x)}{x e^{\frac{1}{x}}}$

Этап 1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x e^{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x (2 x)}{x (e^{\frac{1}{x}})}$

Этап 1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x (2 x)}{x e^{\frac{1}{x}}}$

Этап 1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{2 x}{e^{\frac{1}{x}}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{e^{\frac{1}{x}}}$

Этап 2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{e^{\frac{1}{x}}}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{x}{e^{\frac{1}{x}}}$ стремится к $0$ .

$- 2 \cdot 0$

Этап 4

Умножим $- 2$ на $0$ .

$0$