Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x - 1 - \ln (x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1}{lim_{x \to 1} x - 1 - \ln (x)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x - 1 - \ln (x)}$

Этап 1.1.2.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1 - \ln (x)}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1 - \ln (x)}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x - 1 - \ln (x)}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 - \ln (x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Этап 1.1.3.3

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1 - \ln (lim_{x \to 1} x)}$

Этап 1.1.3.4

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1 - \ln (lim_{x \to 1} x)}$

Этап 1.1.3.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1 - \ln (1)}$

Этап 1.1.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 - \ln (1)}$

Этап 1.1.3.5.1.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{1 - 1 - 0}$

Этап 1.1.3.5.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0}{1 - 1 + 0}$

Этап 1.1.3.5.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 1.1.3.5.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.5.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x - 1 - \ln (x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1 - \ln (x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1 - \ln (x)]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1 - \ln (x)]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1 - \ln (x)]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1 - \ln (x)]}$

Этап 1.3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x - 1 - \ln (x)]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $x - 1 - \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 + 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}$

Этап 1.3.9

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 + 0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 1.3.9.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 + 0 - \frac{1}{x}}$

Этап 1.3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 - \frac{1}{x}}$

Этап 1.3.10.2

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{- \frac{1}{x} + 1}$

Этап 1.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{- \frac{1}{x} + \frac{x}{x}}$

Этап 1.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{- 1 + x}{x}}$

Этап 2

Поскольку эта функция стремится к $- \infty$ слева, а к $\infty$ справа, предел не существует.

$Не существует$