Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} (\frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)}) (1)$

Этап 1

Умножим $\frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)}$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} \log_{4} (x)}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{\log_{4} (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{\log_{4} (1)}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

Этап 2.1.2.3

Логарифм $1$ по основанию $4$ равен $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{0}{\log_{2} (lim_{x \to 1} x)}$

Этап 2.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{\log_{2} (1)}$

Этап 2.1.3.3

Логарифм $1$ по основанию $2$ равен $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Этап 2.3.2

Производная $\log_{4} (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x \ln (4)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (4)}}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Этап 2.3.3

Производная $\log_{2} (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x \ln (2)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (4)}}{\frac{1}{x \ln (2)}}$

Этап 2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x \ln (4)} (x \ln (2))$

Этап 2.5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x \ln (4)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x}{x \ln (4)} \ln (2)$

Этап 2.5.2

Объединим $\frac{x}{x \ln (4)}$ и $\ln (2)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x \ln (2)}{x \ln (4)}$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 1} \frac{x \ln (2)}{x \ln (4)}$

Этап 2.6.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (2)}{\ln (4)}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $\frac{\ln (2)}{\ln (4)}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{\ln (2)}{\ln (4)}$

Этап 3.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $\ln (4)$ в виде $\ln (2^{2})$ .

$\frac{\ln (2)}{\ln (2^{2})}$

Этап 3.2.2

Развернем $\ln (2^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\frac{\ln (2)}{2 \ln (2)}$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $\ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (2)}{2 \ln (2)}$

Этап 3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$