Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0^{+}} (\sqrt{x}) e^{\cos (\frac{π}{x})}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 0^{+}} e^{\cos (\frac{π}{x})}$

Этап 1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{x \to 0^{+}} x} \cdot lim_{x \to 0^{+}} e^{\cos (\frac{π}{x})}$

Этап 1.3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\sqrt{lim_{x \to 0^{+}} x} \cdot e^{lim_{x \to 0^{+}} \cos (\frac{π}{x})}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\sqrt{0} \cdot e^{lim_{x \to 0^{+}} \cos (\frac{π}{x})}$

Этап 3

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\cos (\frac{π}{x})$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & \cos (\frac{π}{x}) \\ 0.1 & 1 \\ 0.01 & 1 \\ 0.001 & - 0.66711772 \\ 0.0001 & - 0.10775036 \\ 0.00001 & 0.87550456 \\ 0.000001 & 0.98459857 \\ 0.0000001 & - 0.99950431 \\ 0.00000001 & 0.67066438 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0.99999999 \end{array}$

Этап 4

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $1$ . Таким образом, предел $\cos (\frac{π}{x})$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $1$ .

$\sqrt{0} \cdot e^{1}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}} \cdot e^{1}$

Этап 5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$0 \cdot e^{1}$

Этап 5.3

Упростим.

$0 \cdot e$

Этап 5.4

Умножим $0$ на $e$ .

$0$