Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0^{+}} {\cos (x)}^{\frac{7}{x^{2}}}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${\cos (x)}^{\frac{7}{x^{2}}}$ в виде $e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{7}{x^{2}}})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{7}{x^{2}}})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({\cos (x)}^{\frac{7}{x^{2}}})$ , вынося $\frac{7}{x^{2}}$ из логарифма.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{7}{x^{2}} \ln (\cos (x))}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{7}{x^{2}} \ln (\cos (x))}$

Этап 2.2

Объединим $\frac{7}{x^{2}}$ и $\ln (\cos (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{7 \ln (\cos (x))}{x^{2}}}$

Этап 2.3

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{7 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{7 \frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\cos (x))}{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{7 \frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}}$

Этап 3.1.2.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$e^{7 \frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0^{+}} x))}{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}}$

Этап 3.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{7 \frac{\ln (\cos (0))}{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}}$

Этап 3.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$e^{7 \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}}$

Этап 3.1.2.3.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$e^{7 \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$e^{7 \frac{0}{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}}$

Этап 3.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{7 \frac{0}{0^{2}}}$

Этап 3.1.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e^{7 (\frac{0}{0})}$

Этап 3.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{7 (\frac{0}{0})}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{7 (\frac{0}{0})}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{7 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$e^{7 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Этап 3.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$e^{7 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$e^{7 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Этап 3.3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$e^{7 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Этап 3.3.4

Объединим $\frac{1}{\cos (x)}$ и $\sin (x)$ .

$e^{7 lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{7 lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{2 x}}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{7 lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{2 x}}$

Этап 3.5

Умножим $\frac{1}{2 x}$ на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{7 lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{2 x \cos (x)}}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{7 \cdot - 1 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{2 x \cos (x)}}$

Этап 4.2

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{x \cos (x)}}$

Этап 5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x \cos (x)}}$

Этап 5.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x \cos (x)}}$

Этап 5.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x \cos (x)}}$

Этап 5.1.2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x \cos (x)}}$

Этап 5.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

Этап 5.1.3.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot \cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Этап 5.1.3.3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{0}{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Этап 5.1.3.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{0}{0 \cdot \cos (0)}}$

Этап 5.1.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.4.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{0}{0 \cdot 1}}$

Этап 5.1.3.4.2

Умножим $0$ на $1$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{0}{0}}$

Этап 5.1.3.4.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{0}{0}}$

Этап 5.1.3.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{0}{0}}$

Этап 5.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{0}{0}}$

Этап 5.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{x \cos (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)]}$

Этап 5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)]}}$

Этап 5.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)]}}$

Этап 5.3.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 5.3.4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 5.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1}}$

Этап 5.3.6

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)}}$

Этап 5.3.7

Изменим порядок членов.

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{- x \sin (x) + \cos (x)}}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}{lim_{x \to 0^{+}} - x \sin (x) + \cos (x)}}$

Этап 6.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{\cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} - x \sin (x) + \cos (x)}}$

Этап 6.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{\cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}{- lim_{x \to 0^{+}} x \sin (x) + lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

Этап 6.4

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{\cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}{- lim_{x \to 0^{+}} x \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) + lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

Этап 6.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{\cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}{- lim_{x \to 0^{+}} x \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

Этап 6.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{\cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}{- lim_{x \to 0^{+}} x \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{\cos (0)}{- lim_{x \to 0^{+}} x \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{\cos (0)}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Этап 7.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{\cos (0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Этап 7.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{\cos (0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $7$ на $- 1$ .

$e^{- 7 (\frac{1}{2}) \frac{\cos (0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}}$

Этап 8.2

Объединим $- 7$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 7}{2} \cdot \frac{\cos (0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}}$

Этап 8.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{\cos (0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}}$

Этап 8.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}}$

Этап 8.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{0 \cdot 0 + \cos (0)}}$

Этап 8.5.2

Умножим $0$ на $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{0 + \cos (0)}}$

Этап 8.5.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{0 + 1}}$

Этап 8.5.4

Добавим $0$ и $1$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{1}}$

Этап 8.6

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Сократим общий множитель.

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{1}}$

Этап 8.6.2

Перепишем это выражение.

$e^{- \frac{7}{2} \cdot 1}$

Этап 8.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{- \frac{7}{2}}$

Этап 8.8

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{7}{2}}}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{e^{\frac{7}{2}}}$

Десятичная форма:

$0.03019738 \dots$