Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x}}{\ln (x + 1)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x}}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x + 1)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0^{+}} x}}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x + 1)}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x + 1)}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{\sqrt{0^{2}}}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x + 1)}$

Этап 1.1.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x + 1)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0^{+}} x + 1)}$

Этап 1.1.3.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1)}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0^{+}} x + 1)}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{\ln (0 + 1)}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Этап 1.1.3.3.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x}}{\ln (x + 1)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Этап 1.3.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Этап 1.3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Этап 1.3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Этап 1.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Этап 1.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Этап 1.3.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Этап 1.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Этап 1.3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Этап 1.3.9.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Этап 1.3.10

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 1.3.10.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 1.3.10.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 1.3.11

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Этап 1.3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Этап 1.3.13

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x + 1} (1 + 0)}$

Этап 1.3.14

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x + 1} \cdot 1}$

Этап 1.3.15

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x + 1}}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (x + 1)$

Этап 1.5

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{2 \sqrt{x}} (x + 1)$

Этап 1.6

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ на $x + 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x + 1}{2 \sqrt{x}}$

Этап 2

Так как числитель положителен, а знаменатель $2 \sqrt{x}$ стремится к нулю и больше нуля для $x$ около $0$ справа, функция неограниченно растет.

$\infty$