Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0^{+}} 12 {\sin (x)}^{14 x}$

Этап 1

Вынесем член $12$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$12 lim_{x \to 0^{+}} {\sin (x)}^{14 x}$

Этап 2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${\sin (x)}^{14 x}$ в виде $e^{\ln ({\sin (x)}^{14 x})}$ .

$12 lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\sin (x)}^{14 x})}$

Этап 2.2

Развернем $\ln ({\sin (x)}^{14 x})$ , вынося $14 x$ из логарифма.

$12 lim_{x \to 0^{+}} e^{14 x \ln (\sin (x))}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$12 e^{lim_{x \to 0^{+}} 14 x \ln (\sin (x))}$

Этап 3.2

Вынесем член $14$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$12 e^{14 lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\sin (x))}$

Этап 4

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $x \ln (\sin (x))$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & x \ln (\sin (x)) \\ 0.1 & - 0.23042523 \\ 0.01 & - 0.04605186 \\ 0.001 & - 0.00690775 \\ 0.0001 & - 0.00092103 \\ 0.00001 & - 0.00011512 \\ 0.000001 & - 0.00001381 \end{array}$

Этап 5

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0$ . Таким образом, предел $x \ln (\sin (x))$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $0$ .

$12 e^{14 \cdot 0}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $14$ на $0$ .

$12 e^{0}$

Этап 6.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$12 \cdot 1$

Этап 6.3

Умножим $12$ на $1$ .

$12$