Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} (\frac{1}{1 - x}) - (\frac{1}{1 - x^{3}})$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{1}{1 - x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - x^{3}}{1 - x^{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 - x} \cdot \frac{1 - x^{3}}{1 - x^{3}} - (\frac{1}{1 - x^{3}})$

Этап 1.2

Чтобы записать $- (\frac{1}{1 - x^{3}})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 - x} \cdot \frac{1 - x^{3}}{1 - x^{3}} - (\frac{1}{1 - x^{3}}) \cdot \frac{1 - x}{1 - x}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 - x) (1 - x^{3})$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{1 - x}$ на $\frac{1 - x^{3}}{1 - x^{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{3}}{(1 - x) (1 - x^{3})} - (\frac{1}{1 - x^{3}}) \cdot \frac{1 - x}{1 - x}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{1}{1 - x^{3}}$ на $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{3}}{(1 - x) (1 - x^{3})} - \frac{1 - x}{(1 - x^{3}) (1 - x)}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $(1 - x^{3}) (1 - x)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{3}}{(1 - x) (1 - x^{3})} - \frac{1 - x}{(1 - x) (1 - x^{3})}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{3} - (1 - x)}{(1 - x) (1 - x^{3})}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - x^{3} - (1 - x)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Этап 2.1.2

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Найдем предел $1 - x^{3} - (1 - x)$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1 - 1^{3} - (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Этап 2.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Этап 2.1.2.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1 - (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Этап 2.1.2.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1 - (1 - 1)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Этап 2.1.2.2.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{1 - 1 - 0}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Этап 2.1.2.2.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Этап 2.1.2.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Этап 2.1.2.4

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - x \cdot lim_{x \to 1} 1 - x^{3}}$

Этап 2.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x) \cdot lim_{x \to 1} 1 - x^{3}}$

Этап 2.1.3.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{(1 - lim_{x \to 1} x) \cdot lim_{x \to 1} 1 - x^{3}}$

Этап 2.1.3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{(1 - lim_{x \to 1} x) \cdot (lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x^{3})}$

Этап 2.1.3.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{(1 - lim_{x \to 1} x) \cdot (1 - lim_{x \to 1} x^{3})}$

Этап 2.1.3.6

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{(1 - lim_{x \to 1} x) \cdot (1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{3})}$

Этап 2.1.3.7

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{(1 - 1) \cdot (1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{3})}$

Этап 2.1.3.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{(1 - 1) \cdot (1 - 1^{3})}$

Этап 2.1.3.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.8.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1^{3})}$

Этап 2.1.3.8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.8.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Этап 2.1.3.8.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1)}$

Этап 2.1.3.8.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Этап 2.1.3.8.4

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.8.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.9

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{3} - (1 - x)}{(1 - x) (1 - x^{3})} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x^{3} - (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x^{3} - (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $1 - x^{3} - (1 - x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (1 - x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Этап 2.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Этап 2.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Этап 2.3.4.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Этап 2.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- (1 - x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (1 - x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [1 - x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} - \frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Этап 2.3.5.2

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Этап 2.3.5.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} - (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Этап 2.3.5.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} - (0 - \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Этап 2.3.5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} - (0 - 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Этап 2.3.5.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} - (0 - 1)}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Этап 2.3.5.7

Вычтем $1$ из $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} - - 1}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Этап 2.3.5.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} + 1}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Этап 2.3.6

Вычтем $3 x^{2}$ из $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 1 - x$ и $g (x) = 1 - x^{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 - x^{3}] + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Этап 2.3.8

По правилу суммы производная $1 - x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]) + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Этап 2.3.9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]) + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Этап 2.3.10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) \frac{d}{d x} [- x^{3}] + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Этап 2.3.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- \frac{d}{d x} [x^{3}]) + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Этап 2.3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- (3 x^{2})) + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Этап 2.3.13

Умножим $3$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- 3 x^{2}) + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Этап 2.3.14

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- 3 x^{2}) + (1 - x^{3}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}$

Этап 2.3.15

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- 3 x^{2}) + (1 - x^{3}) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}$

Этап 2.3.16

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- 3 x^{2}) + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 2.3.17

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- 3 x^{2}) + (1 - x^{3}) (- \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 2.3.18

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- 3 x^{2}) + (1 - x^{3}) (- 1 \cdot 1)}$

Этап 2.3.19

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- 3 x^{2}) + (1 - x^{3}) \cdot - 1}$

Этап 2.3.20

Перенесем $- 1$ влево от $1 - x^{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- 3 x^{2}) - 1 \cdot (1 - x^{3})}$

Этап 2.3.21

Перепишем $- 1 (1 - x^{3})$ в виде $- (1 - x^{3})$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- 3 x^{2}) - (1 - x^{3})}$

Этап 2.3.22

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.22.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{1 (- 3 x^{2}) - x (- 3 x^{2}) - (1 - x^{3})}$

Этап 2.3.22.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{1 (- 3 x^{2}) - x (- 3 x^{2}) - 1 \cdot 1 - - x^{3}}$

Этап 2.3.22.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.22.3.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{- 3 x^{2} - x (- 3 x^{2}) - 1 \cdot 1 - - x^{3}}$

Этап 2.3.22.3.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{- 3 x^{2} + 3 x \cdot x^{2} - 1 \cdot 1 - - x^{3}}$

Этап 2.3.22.3.3

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.22.3.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{- 3 x^{2} + 3 (x^{2} x) - 1 \cdot 1 - - x^{3}}$

Этап 2.3.22.3.3.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.22.3.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{- 3 x^{2} + 3 (x^{2} x^{1}) - 1 \cdot 1 - - x^{3}}$

Этап 2.3.22.3.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{- 3 x^{2} + 3 x^{2 + 1} - 1 \cdot 1 - - x^{3}}$

Этап 2.3.22.3.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{- 3 x^{2} + 3 x^{3} - 1 \cdot 1 - - x^{3}}$

Этап 2.3.22.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{- 3 x^{2} + 3 x^{3} - 1 - - x^{3}}$

Этап 2.3.22.3.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{- 3 x^{2} + 3 x^{3} - 1 + 1 x^{3}}$

Этап 2.3.22.3.6

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{- 3 x^{2} + 3 x^{3} - 1 + x^{3}}$

Этап 2.3.22.3.7

Добавим $3 x^{3}$ и $x^{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{- 3 x^{2} + 4 x^{3} - 1}$

Этап 2.3.22.4

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Этап 3

Поскольку эта функция стремится к $\infty$ слева, а к $- \infty$ справа, предел не существует.

$Не существует$