Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - 3}{x^{4} - 2 x^{3} - 27}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - 3}{lim_{x \to 1} x^{4} - 2 x^{3} - 27}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 2 x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} x^{4} - 2 x^{3} - 27}$

Этап 3

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 2 x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} x^{4} - 2 x^{3} - 27}$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} x^{4} - 2 x^{3} - 27}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} x^{4} - 2 x^{3} - 27}$

Этап 6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} x^{4} - 2 x^{3} - 27}$

Этап 7

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} x^{4} - 2 x^{3} - 27}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} x^{4} - lim_{x \to 1} 2 x^{3} - lim_{x \to 1} 27}$

Этап 9

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - lim_{x \to 1} 2 x^{3} - lim_{x \to 1} 27}$

Этап 10

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 2 lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 27}$

Этап 11

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 27}$

Этап 12

Найдем предел $27$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 27}$

Этап 13

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{3} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 27}$

Этап 13.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 27}$

Этап 13.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 27}$

Этап 13.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{1^{4} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 27}$

Этап 13.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{1^{4} - 2 \cdot 1^{3} - 1 \cdot 27}$

Этап 14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 - 2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{1^{4} - 2 \cdot 1^{3} - 1 \cdot 27}$

Этап 14.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 - 2 \cdot 1 - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{1^{4} - 2 \cdot 1^{3} - 1 \cdot 27}$

Этап 14.1.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{1 - 2 - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{1^{4} - 2 \cdot 1^{3} - 1 \cdot 27}$

Этап 14.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{1 - 2 - 2 - 1 \cdot 3}{1^{4} - 2 \cdot 1^{3} - 1 \cdot 27}$

Этап 14.1.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1 - 2 - 2 - 3}{1^{4} - 2 \cdot 1^{3} - 1 \cdot 27}$

Этап 14.1.6

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{- 1 - 2 - 3}{1^{4} - 2 \cdot 1^{3} - 1 \cdot 27}$

Этап 14.1.7

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$\frac{- 3 - 3}{1^{4} - 2 \cdot 1^{3} - 1 \cdot 27}$

Этап 14.1.8

Вычтем $3$ из $- 3$ .

$\frac{- 6}{1^{4} - 2 \cdot 1^{3} - 1 \cdot 27}$

Этап 14.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- 6}{1 - 2 \cdot 1^{3} - 1 \cdot 27}$

Этап 14.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- 6}{1 - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 27}$

Этап 14.2.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{- 6}{1 - 2 - 1 \cdot 27}$

Этап 14.2.4

Умножим $- 1$ на $27$ .

$\frac{- 6}{1 - 2 - 27}$

Этап 14.2.5

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{- 6}{- 1 - 27}$

Этап 14.2.6

Вычтем $27$ из $- 1$ .

$\frac{- 6}{- 28}$

Этап 14.3

Сократим общий множитель $- 6$ и $- 28$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 6$ .

$\frac{- 2 (3)}{- 28}$

Этап 14.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 28$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 14}$

Этап 14.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 14}$

Этап 14.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{14}$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3}{14}$

Десятичная форма:

$0.2\overline{142857}$