Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} (x^{3}) \sin (\frac{π}{x}) = 0$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} x^{3} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x}) = 0$

Этап 1.2

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to 0} x)}^{3} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x}) = 0$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$0^{3} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x}) = 0$

Этап 3

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{π}{x})$

Этап 4

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\sin (\frac{π}{x})$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & - 0.85104601 \\ - 0.0001 & 0.17871591 \\ - 0.00001 & 0.97661742 \\ - 0.000001 & 0.99374486 \\ - 0.0000001 & - 0.96737158 \\ - 0.00000001 & 0.43267965 \\ 0 & 0.00000098 \\ 0 & 0.00001749 \end{array}$

Этап 5

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0$ . Таким образом, предел $\sin (\frac{π}{x})$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $0$ .

$0$

Этап 6

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{π}{x})$

Этап 7

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\sin (\frac{π}{x})$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & 0 \\ 0.001 & - 0.7449523 \\ 0.0001 & 0.99417798 \\ 0.00001 & 0.48320985 \\ 0.000001 & 0.17483031 \\ 0.0000001 & - 0.03148204 \\ 0.00000001 & - 0.74176093 \\ 0 & - 0.00000098 \\ 0 & - 0.00001749 \end{array}$

Этап 8

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0$ . Таким образом, предел $\sin (\frac{π}{x})$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $0$ .

$0^{3} \cdot 0 = 0$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $0^{3}$ на $0$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $0^{3}$ на $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Возведем $0$ в степень $1$ .

$0^{3} \cdot 0^{1} = 0$

Этап 9.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$0^{3 + 1} = 0$

Этап 9.1.2

Добавим $3$ и $1$ .

$0^{4} = 0$

Этап 9.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 = 0$