Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{x \cot (x)}{\cos (x)}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{\cos (0)}$

Этап 3

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} x \cot (x)$

Этап 4

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $x \cot (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ - 0.1 & 0.99666444 \\ - 0.01 & 0.99996666 \\ - 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Этап 5

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $1$ . Таким образом, предел $x \cot (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $1$ .

$1$

Этап 6

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} x \cot (x)$

Этап 7

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $x \cot (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ 0.1 & 0.99666444 \\ 0.01 & 0.99996666 \\ 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Этап 8

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $1$ . Таким образом, предел $x \cot (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $1$ .

$\frac{1}{\cos (0)}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Переведем $\frac{1}{\cos (0)}$ в $\sec (0)$ .

$\sec (0)$

Этап 9.2

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$1$