Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} (x^{2}) \cot (x^{2})$

Этап 1

Перепишем $(x^{2}) \cot (x^{2})$ в виде $\frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Этап 2

Рассмотрим предел как левосторонний.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Этап 3

Вычислим левосторонний предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Этап 3.1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Этап 3.1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Этап 3.1.1.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Этап 3.1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1

Применим тригонометрические тождества.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1.1

Выразим $\cot (x^{2})$ через синусы и косинусы.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}}$

Этап 3.1.1.3.1.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}}$

Этап 3.1.1.3.1.3

Переведем $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ в $\tan (x^{2})$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \tan (x^{2})}$

Этап 3.1.1.3.2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.2.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0^{-}} x^{2})}$

Этап 3.1.1.3.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{\tan ({(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2})}$

Этап 3.1.1.3.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{\tan (0^{2})}$

Этап 3.1.1.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Этап 3.1.1.3.4.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.1.3.4.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.1.3.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Этап 3.1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Этап 3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Этап 3.1.3.3

Выразим $\cot (x^{2})$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}]}$

Этап 3.1.3.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Этап 3.1.3.5

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Этап 3.1.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.6.1

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Этап 3.1.3.6.2

Умножим $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Этап 3.1.3.7

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \sin (x^{2})$ и $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 3.1.3.8

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 3.1.3.8.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 3.1.3.8.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 3.1.3.9

Возведем $\cos (x^{2})$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 3.1.3.10

Возведем $\cos (x^{2})$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 3.1.3.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{{\cos (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 3.1.3.12

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 3.1.3.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 3.1.3.14

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.14.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 3.1.3.14.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 3.1.3.14.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 3.1.3.15

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + 1 \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 3.1.3.16

Умножим $\sin (x^{2})$ на $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 3.1.3.17

Возведем $\sin (x^{2})$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 3.1.3.18

Возведем $\sin (x^{2})$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 3.1.3.19

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + {\sin (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 3.1.3.20

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 3.1.3.21

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 3.1.3.22

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.22.1

Вынесем множитель $2 x$ из $\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.22.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $\cos^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 3.1.3.22.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $\sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 3.1.3.22.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2}) + \sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 3.1.3.22.2

Переставляем члены.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\sin^{2} (x^{2}) + \cos^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 3.1.3.22.3

Применим формулу Пифагора.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x \cdot 1}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 3.1.3.22.4

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 3.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0^{-}} 2 x \frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Этап 3.1.5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Объединим $2$ и $\frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} x \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Этап 3.1.5.2

Объединим $x$ и $\frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Этап 3.1.6

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Этап 3.1.6.1.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Этап 3.1.6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Этап 3.1.6.2.2

Разделим $\cos^{2} (x^{2})$ на $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \cos^{2} (x^{2})$

Этап 3.2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем степень $2$ в выражении $\cos^{2} (x^{2})$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to 0^{-}} \cos (x^{2}))}^{2}$

Этап 3.2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\cos^{2} (lim_{x \to 0^{-}} x^{2})$

Этап 3.2.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\cos^{2} ({(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2})$

Этап 3.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\cos^{2} (0^{2})$

Этап 3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\cos^{2} (0)$

Этап 3.4.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$1^{2}$

Этап 3.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$1$

Этап 4

Рассмотрим предел как правосторонний.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Этап 5

Вычислим правосторонний предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Этап 5.1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.1

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Этап 5.1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Этап 5.1.1.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Этап 5.1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.3.1

Применим тригонометрические тождества.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.3.1.1

Выразим $\cot (x^{2})$ через синусы и косинусы.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}}$

Этап 5.1.1.3.1.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}}$

Этап 5.1.1.3.1.3

Переведем $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ в $\tan (x^{2})$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x^{2})}$

Этап 5.1.1.3.2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.3.2.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0^{+}} x^{2})}$

Этап 5.1.1.3.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{\tan ({(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2})}$

Этап 5.1.1.3.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{\tan (0^{2})}$

Этап 5.1.1.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.3.4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Этап 5.1.1.3.4.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 5.1.1.3.4.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 5.1.1.3.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 5.1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 5.1.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Этап 5.1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Этап 5.1.3.3

Выразим $\cot (x^{2})$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}]}$

Этап 5.1.3.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Этап 5.1.3.5

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Этап 5.1.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.6.1

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Этап 5.1.3.6.2

Умножим $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Этап 5.1.3.7

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 5.1.3.8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 5.1.3.8.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 5.1.3.8.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 5.1.3.9

Возведем $\cos (x^{2})$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 5.1.3.10

Возведем $\cos (x^{2})$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 5.1.3.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{{\cos (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 5.1.3.12

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 5.1.3.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 5.1.3.14

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.14.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 5.1.3.14.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 5.1.3.14.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 5.1.3.15

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + 1 \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 5.1.3.16

Умножим $\sin (x^{2})$ на $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 5.1.3.17

Возведем $\sin (x^{2})$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 5.1.3.18

Возведем $\sin (x^{2})$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 5.1.3.19

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + {\sin (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 5.1.3.20

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 5.1.3.21

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 5.1.3.22

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.22.1

Вынесем множитель $2 x$ из $\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.22.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $\cos^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 5.1.3.22.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $\sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 5.1.3.22.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2}) + \sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 5.1.3.22.2

Переставляем члены.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\sin^{2} (x^{2}) + \cos^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 5.1.3.22.3

Применим формулу Пифагора.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x \cdot 1}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 5.1.3.22.4

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Этап 5.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0^{+}} 2 x \frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Этап 5.1.5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Объединим $2$ и $\frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} x \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Этап 5.1.5.2

Объединим $x$ и $\frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Этап 5.1.6

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Этап 5.1.6.1.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Этап 5.1.6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Этап 5.1.6.2.2

Разделим $\cos^{2} (x^{2})$ на $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x^{2})$

Этап 5.2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем степень $2$ в выражении $\cos^{2} (x^{2})$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x^{2}))}^{2}$

Этап 5.2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x^{2})$

Этап 5.2.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\cos^{2} ({(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2})$

Этап 5.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\cos^{2} (0^{2})$

Этап 5.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\cos^{2} (0)$

Этап 5.4.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$1^{2}$

Этап 5.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$1$

Этап 6

Так как левосторонний предел совпадает с правосторонним, предел равен $1$ .

$1$