Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} (\sqrt{x^{3} + x^{2}}) \sin (\frac{π}{x})$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{x^{3} + x^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} x^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

Этап 4

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} x^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\sqrt{0^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\sqrt{0^{3} + 0^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

Этап 7

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{π}{x})$

Этап 8

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\sin (\frac{π}{x})$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & - 0.85104601 \\ - 0.0001 & 0.17871591 \\ - 0.00001 & 0.97661742 \\ - 0.000001 & 0.99374486 \\ - 0.0000001 & - 0.96737158 \\ - 0.00000001 & 0.43267965 \\ 0 & 0.00000098 \\ 0 & 0.00001749 \end{array}$

Этап 9

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0$ . Таким образом, предел $\sin (\frac{π}{x})$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $0$ .

$0$

Этап 10

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{π}{x})$

Этап 11

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\sin (\frac{π}{x})$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & 0 \\ 0.001 & - 0.7449523 \\ 0.0001 & 0.99417798 \\ 0.00001 & 0.48320985 \\ 0.000001 & 0.17483031 \\ 0.0000001 & - 0.03148204 \\ 0.00000001 & - 0.74176093 \\ 0 & - 0.00000098 \\ 0 & - 0.00001749 \end{array}$

Этап 12

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0$ . Таким образом, предел $\sin (\frac{π}{x})$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $0$ .

$\sqrt{0^{3} + 0^{2}} \cdot 0$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\sqrt{0 + 0^{2}} \cdot 0$

Этап 13.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\sqrt{0 + 0} \cdot 0$

Этап 13.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\sqrt{0} \cdot 0$

Этап 13.4

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}} \cdot 0$

Этап 13.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$0 \cdot 0$

Этап 13.6

Умножим $0$ на $0$ .

$0$