Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} - x^{3}} (1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} - x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} - x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Этап 5

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

Этап 7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - lim_{x \to 0} \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $\sin^{2} (\frac{2 π}{x})$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\sqrt{0^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\sqrt{0^{2} - 0^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

Этап 10

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{2 π}{x})$

Этап 11

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\sin (\frac{2 π}{x})$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{2 π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & - 0.54407169 \\ - 0.001 & 0.8937534 \\ - 0.0001 & - 0.99742913 \\ - 0.00001 & 0.41991556 \\ - 0.000001 & - 0.22195154 \\ - 0.0000001 & 0.97486841 \\ - 0.00000001 & - 0.78016272 \\ 0 & 0.00000197 \\ 0 & 0.00003499 \end{array}$

Этап 12

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0$ . Таким образом, предел $\sin (\frac{2 π}{x})$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $0$ .

$0$

Этап 13

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{2 π}{x})$

Этап 14

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\sin (\frac{2 π}{x})$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{2 π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & - 0.95891572 \\ 0.001 & - 0.17658004 \\ 0.0001 & - 0.21424608 \\ 0.00001 & - 0.75115029 \\ 0.000001 & - 0.99796383 \\ 0.0000001 & 0.06293287 \\ 0.00000001 & 0.37855005 \\ 0 & - 0.00000197 \\ 0 & - 0.00003499 \end{array}$

Этап 15

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0$ . Таким образом, предел $\sin (\frac{2 π}{x})$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $0$ .

$\sqrt{0^{2} - 0^{3}} \cdot (1 - 0^{2})$

Этап 16

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\sqrt{0 - 0^{3}} \cdot (1 - 0^{2})$

Этап 16.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\sqrt{0 - 0} \cdot (1 - 0^{2})$

Этап 16.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\sqrt{0 + 0} \cdot (1 - 0^{2})$

Этап 16.4

Добавим $0$ и $0$ .

$\sqrt{0} \cdot (1 - 0^{2})$

Этап 16.5

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}} \cdot (1 - 0^{2})$

Этап 16.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$0 \cdot (1 - 0^{2})$

Этап 16.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.7.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 \cdot (1 - 0)$

Этап 16.7.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 \cdot (1 + 0)$

Этап 16.8

Добавим $1$ и $0$ .

$0 \cdot 1$

Этап 16.9

Умножим $0$ на $1$ .

$0$