Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \sqrt{\frac{\sin (4 x)}{\sin (x)}}$

Этап 1

Применим тригонометрические тождества.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $\frac{\sin (4 x)}{\sin (x)}$ в виде произведения.

$lim_{x \to 0} \sqrt{\sin (4 x) \frac{1}{\sin (x)}}$

Этап 1.2

Запишем $\sin (4 x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{\frac{\sin (4 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разделим $\sin (4 x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{\sin (4 x) \frac{1}{\sin (x)}}$

Этап 1.3.2

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{\sin (4 x) \csc (x)}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{x \to 0} \sin (4 x) \csc (x)}$

Этап 3

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (4 x) \csc (x)$

Этап 4

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\sin (4 x) \csc (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & \sin (4 x) \csc (x) \\ - 0.1 & 3.9006813 \\ - 0.01 & 3.99900006 \\ - 0.001 & 3.99999 \\ - 0.0001 & 3.9999999 \end{array}$

Этап 5

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $4$ . Таким образом, предел $\sin (4 x) \csc (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $4$ .

$4$

Этап 6

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (4 x) \csc (x)$

Этап 7

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\sin (4 x) \csc (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & \sin (4 x) \csc (x) \\ 0.1 & 3.9006813 \\ 0.01 & 3.99900006 \\ 0.001 & 3.99999 \\ 0.0001 & 3.9999999 \end{array}$

Этап 8

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $4$ . Таким образом, предел $\sin (4 x) \csc (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $4$ .

$\sqrt{4}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Этап 9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$2$