Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} 4 x \ln (\sin (x))$

Этап 1

Рассмотрим предел как левосторонний.

$lim_{x \to 0^{-}} 4 x \ln (\sin (x))$

Этап 2

Вычислим пределы, подставив значение переменной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел $4 x \ln (\sin (x))$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$4 \cdot 0 \ln (\sin (0))$

Этап 2.2

Умножим $4$ на $0$ .

$0 \ln (\sin (0))$

Этап 2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0 \ln (0)$

Этап 2.4

Так как выражение $0 \ln (0)$ не определено, предел не существует.

$Не существует$

Этап 3

Рассмотрим предел как правосторонний.

$lim_{x \to 0^{+}} 4 x \ln (\sin (x))$

Этап 4

Вычислим правосторонний предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\sin (x))$

Этап 4.2

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $x \ln (\sin (x))$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & x \ln (\sin (x)) \\ 0.1 & - 0.23042523 \\ 0.01 & - 0.04605186 \\ 0.001 & - 0.00690775 \\ 0.0001 & - 0.00092103 \\ 0.00001 & - 0.00011512 \\ 0.000001 & - 0.00001381 \end{array}$

Этап 4.3

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0$ . Таким образом, предел $x \ln (\sin (x))$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $0$ .

$4 \cdot 0$

Этап 4.4

Умножим $4$ на $0$ .

$0$

Этап 5

Если право- или левостороннего предел не существует, предел не существует.

$Не существует$