Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} 5 π (3 \cos (x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - 3)$

Этап 1

Вынесем член $5 π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 π lim_{x \to 0} 3 \cos (x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - 3$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$5 π (lim_{x \to 0} 3 \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Этап 3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 π (3 lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Этап 4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Этап 5

Вынесем член $2 π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π lim_{x \to 0} \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Этап 6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (lim_{x \to 0} \frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Этап 7

Вынесем член $\frac{5 π}{4}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Этап 9

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Этап 10

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (lim_{x \to 0} x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Этап 11

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (lim_{x \to 0} x)}) - 1 \cdot 3)$

Этап 12

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$5 π (3 \cos (0) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (lim_{x \to 0} x)}) - 1 \cdot 3)$

Этап 12.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$5 π (3 \cos (0) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (0)}) - 1 \cdot 3)$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$5 π (3 \cdot 1 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (0)}) - 1 \cdot 3)$

Этап 13.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (0)}) - 1 \cdot 3)$

Этап 13.1.3

Выразим $\sec (0)$ через синусы и косинусы.

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (0)}}) - 1 \cdot 3)$

Этап 13.1.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (0)}$ .

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} (1 \cos (0))) - 1 \cdot 3)$

Этап 13.1.5

Умножим $\cos (0)$ на $1$ .

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cos (0)) - 1 \cdot 3)$

Этап 13.1.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot 1) - 1 \cdot 3)$

Этап 13.1.7

Умножим $\frac{5 π}{4}$ на $1$ .

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4}) - 1 \cdot 3)$

Этап 13.1.8

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 3)$

Этап 13.1.9

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$5 π (3 + 2 π \cdot 1 - 1 \cdot 3)$

Этап 13.1.10

Умножим $2$ на $1$ .

$5 π (3 + 2 π - 1 \cdot 3)$

Этап 13.1.11

Умножим $- 1$ на $3$ .

$5 π (3 + 2 π - 3)$

Этап 13.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$5 π (2 π + 0)$

Этап 13.3

Добавим $2 π$ и $0$ .

$5 π (2 π)$

Этап 13.4

Умножим $5 π (2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Умножим $2$ на $5$ .

$10 π π$

Этап 13.4.2

Возведем $π$ в степень $1$ .

$10 (π^{1} π)$

Этап 13.4.3

Возведем $π$ в степень $1$ .

$10 (π^{1} π^{1})$

Этап 13.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$10 π^{1 + 1}$

Этап 13.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$10 π^{2}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$10 π^{2}$

Десятичная форма:

$98.69604401 \dots$