Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} 5 x^{7 x}$

Этап 1

Рассмотрим предел как левосторонний.

$lim_{x \to 0^{-}} 5 x^{7 x}$

Этап 2

Вычислим пределы, подставив значение переменной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел $5 x^{7 x}$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$5 \cdot 0^{7 \cdot 0}$

Этап 2.2

Умножим $7$ на $0$ .

$5 \cdot 0^{0}$

Этап 2.3

Так как выражение $5 \cdot 0^{0}$ не определено, предел не существует.

$Не существует$

Этап 3

Рассмотрим предел как правосторонний.

$lim_{x \to 0^{+}} 5 x^{7 x}$

Этап 4

Вычислим правосторонний предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 lim_{x \to 0^{+}} x^{7 x}$

Этап 4.2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $x^{7 x}$ в виде $e^{\ln (x^{7 x})}$ .

$5 lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{7 x})}$

Этап 4.2.2

Развернем $\ln (x^{7 x})$ , вынося $7 x$ из логарифма.

$5 lim_{x \to 0^{+}} e^{7 x \ln (x)}$

Этап 4.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$5 e^{lim_{x \to 0^{+}} 7 x \ln (x)}$

Этап 4.3.2

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 e^{7 lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x)}$

Этап 4.4

Перепишем $x \ln (x)$ в виде $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$ .

$5 e^{7 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}}$

Этап 4.5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$5 e^{7 \frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.5.1.2

Когда $x$ стремится к $0$ справа, $\ln (x)$ неограниченно убывает.

$5 e^{7 \frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.5.1.3

Так как числитель — константа, а знаменатель стремится к $0$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к бесконечности.

$5 e^{7 \frac{- \infty}{\infty}}$

Этап 4.5.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$5 e^{7 \frac{- \infty}{\infty}}$

Этап 4.5.2

Поскольку $\frac{- \infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 4.5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$5 e^{7 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.5.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$5 e^{7 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.5.3.3

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$5 e^{7 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Этап 4.5.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$5 e^{7 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- x^{- 2}}}$

Этап 4.5.3.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 e^{7 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$5 e^{7 lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}}$

Этап 4.5.5

Объединим $\frac{1}{x}$ и $x^{2}$ .

$5 e^{7 lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x}}$

Этап 4.5.6

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$5 e^{7 lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x}}$

Этап 4.5.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 e^{7 lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x^{1}}}$

Этап 4.5.6.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$5 e^{7 lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}$

Этап 4.5.6.2.3

Сократим общий множитель.

$5 e^{7 lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}$

Этап 4.5.6.2.4

Перепишем это выражение.

$5 e^{7 lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{1}}$

Этап 4.5.6.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$5 e^{7 lim_{x \to 0^{+}} - x}$

Этап 4.6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 e^{7 \cdot - 1 lim_{x \to 0^{+}} x}$

Этап 4.6.1.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$5 e^{7 \cdot 0}$

Этап 4.6.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Умножим $7$ на $0$ .

$5 e^{0}$

Этап 4.6.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$5 \cdot 1$

Этап 4.6.2.3

Умножим $5$ на $1$ .

$5$

Этап 5

Если право- или левостороннего предел не существует, предел не существует.

$Не существует$