Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} (x) \cos (\frac{1}{x^{2}})$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (\frac{1}{x^{2}})$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$0 \cdot lim_{x \to 0} \cos (\frac{1}{x^{2}})$

Этап 3

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} \cos (\frac{1}{x^{2}})$

Этап 4

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\cos (\frac{1}{x^{2}})$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & \cos (\frac{1}{x^{2}}) \\ - 0.1 & 0.86231887 \\ - 0.01 & - 0.92173957 \\ - 0.001 & - 0.92173957 \end{array}$

Этап 5

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $- 0.922$ . Таким образом, предел $\cos (\frac{1}{x^{2}})$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $- 0.922$ .

$- 0.922$

Этап 6

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} \cos (\frac{1}{x^{2}})$

Этап 7

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\cos (\frac{1}{x^{2}})$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & \cos (\frac{1}{x^{2}}) \\ 0.1 & 0.86231887 \\ 0.01 & - 0.92173957 \\ 0.001 & - 0.92173957 \end{array}$

Этап 8

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $- 0.922$ . Таким образом, предел $\cos (\frac{1}{x^{2}})$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $- 0.922$ .

$0 \cdot - 0.922$

Этап 9

Умножим $0$ на $- 0.922$ .

$0$