Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to - 1} (f (x)) (x^{2} - 4 x - 5)}{x^{3} + 1}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} f (x) \cdot lim_{x \to - 1} x^{2} - 4 x - 5}{x^{3} + 1}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} f (x) \cdot (lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 4 x - lim_{x \to - 1} 5)}{x^{3} + 1}$

Этап 3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{lim_{x \to - 1} f (x) \cdot ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 4 x - lim_{x \to - 1} 5)}{x^{3} + 1}$

Этап 4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} f (x) \cdot ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 4 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 5)}{x^{3} + 1}$

Этап 5

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} f (x) \cdot ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 4 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 5)}{x^{3} + 1}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $f (x)$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{f (- 1) \cdot ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 4 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 5)}{x^{3} + 1}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{f (- 1) \cdot ({(- 1)}^{2} - 4 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 5)}{x^{3} + 1}$

Этап 6.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{f (- 1) \cdot ({(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 1 \cdot 5)}{x^{3} + 1}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{f (- 1) (1 - 4 \cdot - 1 - 1 \cdot 5)}{x^{3} + 1}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{f (- 1) (1 + 4 - 1 \cdot 5)}{x^{3} + 1}$

Этап 7.1.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{f (- 1) (1 + 4 - 5)}{x^{3} + 1}$

Этап 7.1.4

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{f (- 1) (5 - 5)}{x^{3} + 1}$

Этап 7.1.5

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{f (- 1) \cdot 0}{x^{3} + 1}$

Этап 7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{f (- 1) \cdot 0}{x^{3} + 1^{3}}$

Этап 7.2.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{f (- 1) \cdot 0}{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})}$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{f (- 1) \cdot 0}{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})}$

Этап 7.2.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{f (- 1) \cdot 0}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Этап 7.3

Умножим $f (- 1)$ на $0$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Этап 7.4

Разделим $0$ на $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$0$