Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1^{-}} \sqrt{\frac{x + 4}{x + 9}}$

Этап 1

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{x \to 1^{-}} \frac{x + 4}{x + 9}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 1^{-}} x + 4}{lim_{x \to 1^{-}} x + 9}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 1^{-}} x + lim_{x \to 1^{-}} 4}{lim_{x \to 1^{-}} x + 9}}$

Этап 4

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 1^{-}} x + 4}{lim_{x \to 1^{-}} x + 9}}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 1^{-}} x + 4}{lim_{x \to 1^{-}} x + lim_{x \to 1^{-}} 9}}$

Этап 6

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 1^{-}} x + 4}{lim_{x \to 1^{-}} x + 9}}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\sqrt{\frac{1 + 4}{lim_{x \to 1^{-}} x + 9}}$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\sqrt{\frac{1 + 4}{1 + 9}}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $1$ и $4$ .

$\sqrt{\frac{5}{1 + 9}}$

Этап 8.2

Добавим $1$ и $9$ .

$\sqrt{\frac{5}{10}}$

Этап 8.3

Сократим общий множитель $5$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\sqrt{\frac{5 (1)}{10}}$

Этап 8.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$\sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}}$

Этап 8.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}}$

Этап 8.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 8.4

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 8.6

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 8.7.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 8.7.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 8.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 8.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 8.7.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 8.7.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Десятичная форма:

$0.70710678 \dots$