Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{\tan (6 x)}{\sin (3 x)}$

Этап 1

Применим тригонометрические тождества.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\tan (6 x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}}{\sin (3 x)}$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}}{\sin (3 x)}$ в виде произведения.

$lim_{x \to 1} \frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)} \cdot \frac{1}{\sin (3 x)}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Переведем $\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ в $\tan (6 x)$ .

$lim_{x \to 1} \tan (6 x) \frac{1}{\sin (3 x)}$

Этап 1.3.2

Переведем $\frac{1}{\sin (3 x)}$ в $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 1} \tan (6 x) \csc (3 x)$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$lim_{x \to 1} \tan (6 x) \cdot lim_{x \to 1} \csc (3 x)$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\tan (lim_{x \to 1} 6 x) \cdot lim_{x \to 1} \csc (3 x)$

Этап 4

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\tan (6 lim_{x \to 1} x) \cdot lim_{x \to 1} \csc (3 x)$

Этап 5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косеканс — непрерывная функция.

$\tan (6 lim_{x \to 1} x) \cdot \csc (lim_{x \to 1} 3 x)$

Этап 6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\tan (6 lim_{x \to 1} x) \cdot \csc (3 lim_{x \to 1} x)$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\tan (6 \cdot 1) \cdot \csc (3 lim_{x \to 1} x)$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\tan (6 \cdot 1) \cdot \csc (3 \cdot 1)$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $6$ на $1$ .

$\tan (6) \cdot \csc (3 \cdot 1)$

Этап 8.2

Найдем значение $\tan (6)$ .

$0.10510423 \cdot \csc (3 \cdot 1)$

Этап 8.3

Умножим $3$ на $1$ .

$0.10510423 \cdot \csc (3)$

Этап 8.4

Найдем значение $\csc (3)$ .

$0.10510423 \cdot 19.1073226$

Этап 8.5

Умножим $0.10510423$ на $19.1073226$ .

$2.00826053$