Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \ln ({(x)}^{x - 1})$

Этап 1

Внесем предел под знак логарифма.

$\ln (lim_{x \to 1} {(x)}^{x - 1})$

Этап 2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(x)}^{x - 1}$ в виде $e^{\ln ({(x)}^{x - 1})}$ .

$\ln (lim_{x \to 1} e^{\ln ({(x)}^{x - 1})})$

Этап 2.2

Развернем $\ln ({(x)}^{x - 1})$ , вынося $x - 1$ из логарифма.

$\ln (lim_{x \to 1} e^{(x - 1) \ln (x)})$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$\ln (e^{lim_{x \to 1} (x - 1) \ln (x)})$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)})$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)})$

Этап 3.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)})$

Этап 3.5

Внесем предел под знак логарифма.

$\ln (e^{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)})$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\ln (e^{(1 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)})$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\ln (e^{(1 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (1)})$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $(1 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (1)$ из степени.

$(1 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (1) \ln (e)$

Этап 5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(1 - 1) \cdot \ln (1) \ln (e)$

Этап 5.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$0 \cdot \ln (1) \ln (e)$

Этап 5.4

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$0 \cdot 0 \ln (e)$

Этап 5.5

Умножим $0$ на $0$ .

$0 \ln (e)$

Этап 5.6

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$0 \cdot 1$

Этап 5.7

Умножим $0$ на $1$ .

$0$