Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{- \frac{1}{3}}}{1 - x^{- \frac{2}{3}}}$

Этап 1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Преобразуем числа с отрицательными показателями в дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}}{1 - x^{- \frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}}{1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

Этап 1.1.2

Перепишем $x^{\frac{1}{3}}$ в виде $\sqrt[3]{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - \frac{1}{\sqrt[3]{x}}}{1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

Этап 1.1.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}}}{1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

Этап 1.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x}}}{1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

Этап 1.1.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x}}}{\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

Этап 1.1.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x}}}{\frac{x^{\frac{2}{3}} - 1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

Этап 1.2

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}} - 1}$

Этап 1.2.2

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x}}$ на $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}} - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt[3]{x} - 1) x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} (\sqrt[3]{x} - 1) x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} - 1 \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Этап 2.1.2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{(lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Этап 2.1.2.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{(\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Этап 2.1.2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{(\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Этап 2.1.2.5

Вынесем степень $\frac{2}{3}$ в выражении $x^{\frac{2}{3}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{(\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1) \cdot {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Этап 2.1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{(\sqrt[3]{1} - 1 \cdot 1) \cdot {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Этап 2.1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{(\sqrt[3]{1} - 1 \cdot 1) \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Этап 2.1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.7.1.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{(1 - 1 \cdot 1) \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Этап 2.1.2.7.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(1 - 1) \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Этап 2.1.2.7.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Этап 2.1.2.7.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Этап 2.1.2.7.4

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}} - 1}$

Этап 2.1.3.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{0}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}} - 1}$

Этап 2.1.3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot (lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} 1)}$

Этап 2.1.3.4

Вынесем степень $\frac{2}{3}$ в выражении $x^{\frac{2}{3}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} 1)}$

Этап 2.1.3.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Этап 2.1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{\sqrt[3]{1} \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Этап 2.1.3.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{\sqrt[3]{1} \cdot (1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Этап 2.1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.7.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{0}{1 \cdot (1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Этап 2.1.3.7.2

Умножим $1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1}$

Этап 2.1.3.7.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.7.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 2.1.3.7.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 2.1.3.7.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.7.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt[3]{x} - 1) x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [(\sqrt[3]{x} - 1) x^{\frac{2}{3}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [(\sqrt[3]{x} - 1) x^{\frac{2}{3}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{\frac{1}{3}} - 1) x^{\frac{2}{3}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{3}} - 1$ и $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.6

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.8.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.10

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.12

По правилу суммы производная $x^{\frac{1}{3}} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.14

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.15

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.17.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.17.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.19

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.20

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.21

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.22

Добавим $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.23

Объединим $x^{\frac{2}{3}}$ и $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.24

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.25

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.26

Чтобы записать $(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.27

Объединим $(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ и $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.28

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot 3 + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.29

Объединим $3$ и $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.30

Умножим $3$ на $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.31

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.32

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.32.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.32.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.32.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.33

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.33.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{\frac{1}{3}} \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.33.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.33.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.33.2.1.1

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.33.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{\frac{1}{3}} \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.33.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.33.2.1.2

Перепишем $- 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ в виде $- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 - \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.33.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.33.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.33.3.1

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.33.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{x^{\frac{1}{3}}}}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.33.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.33.5

Умножим $\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{x^{\frac{1}{3}}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.33.6

Перенесем $3$ влево от $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.34

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Этап 2.3.35

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} - 1] + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Этап 2.3.36

По правилу суммы производная $x^{\frac{2}{3}} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Этап 2.3.37

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Этап 2.3.38

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Этап 2.3.39

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Этап 2.3.40

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Этап 2.3.41

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.41.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Этап 2.3.41.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Этап 2.3.42

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Этап 2.3.43

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Этап 2.3.44

Перенесем $x^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Этап 2.3.45

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 0) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Этап 2.3.46

Добавим $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Этап 2.3.47

Объединим $x^{\frac{1}{3}}$ и $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Этап 2.3.48

Перенесем $2$ влево от $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Этап 2.3.49

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Этап 2.3.50

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Этап 2.3.51

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})}$

Этап 2.3.52

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})}$

Этап 2.3.53

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})}$

Этап 2.3.54

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})}$

Этап 2.3.55

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.55.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})}$

Этап 2.3.55.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})}$

Этап 2.3.56

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})}$

Этап 2.3.57

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}}$

Этап 2.3.58

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}$

Этап 2.3.59

Чтобы записать $(x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 2.3.60

Объединим $(x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ и $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + \frac{(x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot 3}{3}}$

Этап 2.3.61

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2 + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot 3}{3}}$

Этап 2.3.62

Объединим $3$ и $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2 + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{3}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3}}$

Этап 2.3.63

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2 + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{3}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3}}$

Этап 2.3.64

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2 + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}{3}}$

Этап 2.3.65

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.65.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2 + x^{\frac{2}{3}} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}{3}}$

Этап 2.3.65.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.65.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.65.2.1.1

Сократим общий множитель $x^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.65.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2 + x^{\frac{2}{3}} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}{3}}$

Этап 2.3.65.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2 + 1 - 1 \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}{3}}$

Этап 2.3.65.2.1.2

Перепишем $- 1 \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ в виде $- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2 + 1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}{3}}$

Этап 2.3.65.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{3 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}{3}}$

Этап 2.3.65.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.65.3.1

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}{3}}$

Этап 2.3.65.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{\frac{3 x^{\frac{2}{3}} - 1}{x^{\frac{2}{3}}}}{3}}$

Этап 2.3.65.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{3 x^{\frac{2}{3}} - 1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{3}}$

Этап 2.3.65.5

Умножим $\frac{3 x^{\frac{2}{3}} - 1}{x^{\frac{2}{3}}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{3 x^{\frac{2}{3}} - 1}{x^{\frac{2}{3}} \cdot 3}}$

Этап 2.3.65.6

Перенесем $3$ влево от $x^{\frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{3 x^{\frac{2}{3}} - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}$

Этап 2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} - 1}$

Этап 2.5

Переведем дробные показатели степени в форму с радикалами.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем $x^{\frac{1}{3}}$ в виде $\sqrt[3]{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt[3]{x} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} - 1}$

Этап 2.5.2

Перепишем $x^{\frac{1}{3}}$ в виде $\sqrt[3]{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt[3]{x} - 2}{3 \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} - 1}$

Этап 2.6

Умножим $\frac{3 \sqrt[3]{x} - 2}{3 \sqrt[3]{x}}$ на $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(3 \sqrt[3]{x} - 2) (3 x^{\frac{2}{3}})}{3 \sqrt[3]{x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Этап 2.7

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 1} \frac{(3 \sqrt[3]{x} - 2) (3 x^{\frac{2}{3}})}{3 \sqrt[3]{x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Этап 2.7.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 1} \frac{(3 \sqrt[3]{x} - 2) (x^{\frac{2}{3}})}{\sqrt[3]{x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} (3 \sqrt[3]{x} - 2) (x^{\frac{2}{3}})}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 3 \sqrt[3]{x} - 2 \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{(lim_{x \to 1} 3 \sqrt[3]{x} - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Этап 3.4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{(3 lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Этап 3.5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{(3 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Этап 3.6

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{(3 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Этап 3.7

Вынесем степень $\frac{2}{3}$ в выражении $x^{\frac{2}{3}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{(3 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2) \cdot {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Этап 3.8

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{(3 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2) \cdot {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} \cdot lim_{x \to 1} 3 x^{\frac{2}{3}} - 1}$

Этап 3.9

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{(3 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2) \cdot {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot lim_{x \to 1} 3 x^{\frac{2}{3}} - 1}$

Этап 3.10

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{(3 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2) \cdot {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot (lim_{x \to 1} 3 x^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} 1)}$

Этап 3.11

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{(3 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2) \cdot {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot (3 lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} 1)}$

Этап 3.12

Вынесем степень $\frac{2}{3}$ в выражении $x^{\frac{2}{3}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{(3 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2) \cdot {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot (3 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} 1)}$

Этап 3.13

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{(3 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2) \cdot {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot (3 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{(3 \sqrt[3]{1} - 1 \cdot 2) \cdot {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot (3 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{(3 \sqrt[3]{1} - 1 \cdot 2) \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot (3 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Этап 4.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{(3 \sqrt[3]{1} - 1 \cdot 2) \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{1} \cdot (3 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Этап 4.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{(3 \sqrt[3]{1} - 1 \cdot 2) \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{1} \cdot (3 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{1} \cdot (3 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Этап 5.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{(3 - 1 \cdot 2) \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{1} \cdot (3 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Этап 5.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{(3 - 2) \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{1} \cdot (3 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Этап 5.1.4

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{1 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{1} \cdot (3 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Этап 5.1.5

Умножим $1^{\frac{2}{3}}$ на $1$ .

$\frac{1^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{1} \cdot (3 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Этап 5.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{\sqrt[3]{1} \cdot (3 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Этап 5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{\sqrt[3]{1} (3 \cdot 1 - 1 \cdot 1)}$

Этап 5.2.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{1} (3 - 1 \cdot 1)}$

Этап 5.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{1} (3 - 1)}$

Этап 5.2.4

Вычтем $1$ из $3$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{1} \cdot 2}$

Этап 5.2.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{1 \cdot 2}$

Этап 5.2.6

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$