Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{3}{x} \cdot (\frac{1}{5 + x} - \frac{1}{5 - x})$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Умножим $\frac{3}{x}$ на $\frac{1}{5 + x} - \frac{1}{5 - x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (\frac{1}{5 + x} - \frac{1}{5 - x})}{x}$

Этап 1.1.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы записать $\frac{1}{5 + x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5 - x}{5 - x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (\frac{1}{5 + x} \cdot \frac{5 - x}{5 - x} - \frac{1}{5 - x})}{x}$

Этап 1.1.2.2

Чтобы записать $- \frac{1}{5 - x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5 + x}{5 + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (\frac{1}{5 + x} \cdot \frac{5 - x}{5 - x} - \frac{1}{5 - x} \cdot \frac{5 + x}{5 + x})}{x}$

Этап 1.1.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(5 + x) (5 - x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Умножим $\frac{1}{5 + x}$ на $\frac{5 - x}{5 - x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (\frac{5 - x}{(5 + x) (5 - x)} - \frac{1}{5 - x} \cdot \frac{5 + x}{5 + x})}{x}$

Этап 1.1.2.3.2

Умножим $\frac{1}{5 - x}$ на $\frac{5 + x}{5 + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (\frac{5 - x}{(5 + x) (5 - x)} - \frac{5 + x}{(5 - x) (5 + x)})}{x}$

Этап 1.1.2.3.3

Изменим порядок множителей в $(5 - x) (5 + x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (\frac{5 - x}{(5 + x) (5 - x)} - \frac{5 + x}{(5 + x) (5 - x)})}{x}$

Этап 1.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{5 - x - (5 + x)}{(5 + x) (5 - x)}}{x}$

Этап 1.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{5 - x - (5 + x)}{(5 + x) (5 - x)}}{x}$

Этап 1.3

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$3 lim_{x \to 0} \frac{5 - x - (5 + x)}{(5 + x) (5 - x)} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{5 - x - (5 + x)}{(5 + x) (5 - x)}$ на $\frac{1}{x}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{5 - x - (5 + x)}{(5 + x) (5 - x) x}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$3 \frac{lim_{x \to 0} 5 - x - (5 + x)}{lim_{x \to 0} (5 + x) (5 - x) x}$

Этап 2.1.2

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Найдем предел $5 - x - (5 + x)$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \frac{5 + 0 - (5 + 0)}{lim_{x \to 0} (5 + x) (5 - x) x}$

Этап 2.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Добавим $5$ и $0$ .

$3 \frac{5 + 0 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} (5 + x) (5 - x) x}$

Этап 2.1.2.2.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$3 \frac{5 + 0 - 5}{lim_{x \to 0} (5 + x) (5 - x) x}$

Этап 2.1.2.3

Добавим $5$ и $0$ .

$3 \frac{5 - 5}{lim_{x \to 0} (5 + x) (5 - x) x}$

Этап 2.1.2.4

Вычтем $5$ из $5$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} (5 + x) (5 - x) x}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} 5 + x \cdot lim_{x \to 0} 5 - x \cdot lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$3 \frac{0}{(lim_{x \to 0} 5 + lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} 5 - x \cdot lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.3.3

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$3 \frac{0}{(5 + lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} 5 - x \cdot lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$3 \frac{0}{(5 + lim_{x \to 0} x) \cdot (lim_{x \to 0} 5 - lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.3.5

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$3 \frac{0}{(5 + lim_{x \to 0} x) \cdot (5 - lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \frac{0}{(5 + 0) \cdot (5 - lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.3.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \frac{0}{(5 + 0) \cdot (5 + 0) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.3.6.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \frac{0}{(5 + 0) \cdot (5 + 0) \cdot 0}$

Этап 2.1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.7.1

Добавим $5$ и $0$ .

$3 \frac{0}{5 \cdot (5 + 0) \cdot 0}$

Этап 2.1.3.7.2

Добавим $5$ и $0$ .

$3 \frac{0}{5 \cdot 5 \cdot 0}$

Этап 2.1.3.7.3

Умножим $5 \cdot 5 \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.7.3.1

Умножим $5$ на $5$ .

$3 \frac{0}{25 \cdot 0}$

Этап 2.1.3.7.3.2

Умножим $25$ на $0$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.3.7.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.3.7.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{5 - x - (5 + x)}{(5 + x) (5 - x) x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 - x - (5 + x)]}{\frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x) x]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 - x - (5 + x)]}{\frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x) x]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $5 - x - (5 + x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- (5 + x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- (5 + x)]}{\frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x) x]}$

Этап 2.3.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- (5 + x)]}{\frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x) x]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (5 + x)]}{\frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x) x]}$

Этап 2.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (5 + x)]}{\frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x) x]}$

Этап 2.3.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 + \frac{d}{d x} [- (5 + x)]}{\frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x) x]}$

Этап 2.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- (5 + x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (5 + x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [5 + x]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 - \frac{d}{d x} [5 + x]}{\frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x) x]}$

Этап 2.3.5.2

По правилу суммы производная $5 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 - (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x) x]}$

Этап 2.3.5.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 - (0 + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x) x]}$

Этап 2.3.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 - (0 + 1)}{\frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x) x]}$

Этап 2.3.5.5

Добавим $0$ и $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x) x]}$

Этап 2.3.5.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 - 1}{\frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x) x]}$

Этап 2.3.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Вычтем $1$ из $0$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 1 - 1}{\frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x) x]}$

Этап 2.3.6.2

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{\frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x) x]}$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = (5 + x) (5 - x)$ и $g (x) = x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x)]}$

Этап 2.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x)]}$

Этап 2.3.9

Умножим $5 + x$ на $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x \frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x)]}$

Этап 2.3.10

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x ((5 + x) \frac{d}{d x} [5 - x] + (5 - x) \frac{d}{d x} [5 + x])}$

Этап 2.3.11

По правилу суммы производная $5 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x ((5 + x) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]) + (5 - x) \frac{d}{d x} [5 + x])}$

Этап 2.3.12

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x ((5 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (5 - x) \frac{d}{d x} [5 + x])}$

Этап 2.3.13

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x ((5 + x) \frac{d}{d x} [- x] + (5 - x) \frac{d}{d x} [5 + x])}$

Этап 2.3.14

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x ((5 + x) \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x] + (5 - x) \frac{d}{d x} [5 + x])}$

Этап 2.3.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x ((5 + x) \cdot - 1 \cdot 1 + (5 - x) \frac{d}{d x} [5 + x])}$

Этап 2.3.16

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x ((5 + x) \cdot - 1 + (5 - x) \frac{d}{d x} [5 + x])}$

Этап 2.3.17

Перенесем $- 1$ влево от $5 + x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x (- 1 \cdot (5 + x) + (5 - x) \frac{d}{d x} [5 + x])}$

Этап 2.3.18

Перепишем $- 1 (5 + x)$ в виде $- (5 + x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x (- (5 + x) + (5 - x) \frac{d}{d x} [5 + x])}$

Этап 2.3.19

По правилу суммы производная $5 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x (- (5 + x) + (5 - x) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x]))}$

Этап 2.3.20

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x (- (5 + x) + (5 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]))}$

Этап 2.3.21

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x (- (5 + x) + (5 - x) \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 2.3.22

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x (- (5 + x) + (5 - x) \cdot 1)}$

Этап 2.3.23

Умножим $5 - x$ на $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x (- (5 + x) + 5 - x)}$

Этап 2.3.24

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.24.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x (- 1 \cdot 5 - x + 5 - x)}$

Этап 2.3.24.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x \cdot - 1 \cdot 5 + x \cdot - 1 x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Этап 2.3.24.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) \cdot 5 + (5 + x) \cdot - 1 x + x \cdot - 1 \cdot 5 + x \cdot - 1 x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Этап 2.3.24.4

Применим свойство дистрибутивности.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{5 \cdot 5 + x \cdot 5 + (5 + x) \cdot - 1 x + x \cdot - 1 \cdot 5 + x \cdot - 1 x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Этап 2.3.24.5

Применим свойство дистрибутивности.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{5 \cdot 5 + x \cdot 5 + 5 \cdot - 1 x + x \cdot - 1 x + x \cdot - 1 \cdot 5 + x \cdot - 1 x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Этап 2.3.24.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.24.6.1

Умножим $5$ на $5$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 + x \cdot 5 + 5 \cdot - 1 x + x \cdot - 1 x + x \cdot - 1 \cdot 5 + x \cdot - 1 x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Этап 2.3.24.6.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 + 5 \cdot x + 5 \cdot - 1 x + x \cdot - 1 x + x \cdot - 1 \cdot 5 + x \cdot - 1 x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Этап 2.3.24.6.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 + 5 x - 5 x + x \cdot - 1 x + x \cdot - 1 \cdot 5 + x \cdot - 1 x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Этап 2.3.24.6.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 + 5 x - 5 x - x^{1} x + x \cdot - 1 \cdot 5 + x \cdot - 1 x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Этап 2.3.24.6.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 + 5 x - 5 x - x^{1} x^{1} + x \cdot - 1 \cdot 5 + x \cdot - 1 x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Этап 2.3.24.6.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 + 5 x - 5 x - x^{1 + 1} + x \cdot - 1 \cdot 5 + x \cdot - 1 x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Этап 2.3.24.6.7

Добавим $1$ и $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 + 5 x - 5 x - x^{2} + x \cdot - 1 \cdot 5 + x \cdot - 1 x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Этап 2.3.24.6.8

Вычтем $5 x$ из $5 x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 + 0 - x^{2} + x \cdot - 1 \cdot 5 + x \cdot - 1 x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Этап 2.3.24.6.9

Добавим $25$ и $0$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - x^{2} + x \cdot - 1 \cdot 5 + x \cdot - 1 x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Этап 2.3.24.6.10

Умножим $- 1$ на $5$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - x^{2} + x \cdot - 5 + x \cdot - 1 x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Этап 2.3.24.6.11

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - x^{2} - 5 \cdot x + x \cdot - 1 x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Этап 2.3.24.6.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - x^{2} - 5 x - x^{1} x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Этап 2.3.24.6.13

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - x^{2} - 5 x - x^{1} x^{1} + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Этап 2.3.24.6.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - x^{2} - 5 x - x^{1 + 1} + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Этап 2.3.24.6.15

Добавим $1$ и $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - x^{2} - 5 x - x^{2} + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Этап 2.3.24.6.16

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - x^{2} - 5 x - x^{2} + 5 \cdot x + x \cdot - 1 x}$

Этап 2.3.24.6.17

Добавим $- 5 x$ и $5 x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - x^{2} - x^{2} + 0 + x \cdot - 1 x}$

Этап 2.3.24.6.18

Добавим $- x^{2}$ и $0$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - x^{2} - x^{2} + x \cdot - 1 x}$

Этап 2.3.24.6.19

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - x^{2} - x^{2} - x^{1} x}$

Этап 2.3.24.6.20

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - x^{2} - x^{2} - x^{1} x^{1}}$

Этап 2.3.24.6.21

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - x^{2} - x^{2} - x^{1 + 1}}$

Этап 2.3.24.6.22

Добавим $1$ и $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - x^{2} - x^{2} - x^{2}}$

Этап 2.3.24.6.23

Вычтем $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - x^{2} - 2 x^{2}}$

Этап 2.3.24.6.24

Вычтем $2 x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - 3 x^{2}}$

Этап 2.3.24.7

Изменим порядок членов.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{- 3 x^{2} + 25}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $- 2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{- 3 x^{2} + 25}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$3 \cdot - 2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} + 25}$

Этап 3.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$3 \cdot - 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} + 25}$

Этап 3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$3 \cdot - 2 \frac{1}{- lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 25}$

Этап 3.5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 \cdot - 2 \frac{1}{- 3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 25}$

Этап 3.6

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$3 \cdot - 2 \frac{1}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 25}$

Этап 3.7

Найдем предел $25$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$3 \cdot - 2 \frac{1}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 25}$

Этап 4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \cdot - 2 \frac{1}{- 3 \cdot 0^{2} + 25}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $3$ на $- 2$ .

$- 6 \frac{1}{- 3 \cdot 0^{2} + 25}$

Этап 5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 6 \frac{1}{- 3 \cdot 0 + 25}$

Этап 5.2.2

Умножим $- 3$ на $0$ .

$- 6 \frac{1}{0 + 25}$

Этап 5.2.3

Добавим $0$ и $25$ .

$- 6 (\frac{1}{25})$

Этап 5.3

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{25}$ .

$\frac{- 6}{25}$

Этап 5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{6}{25}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{6}{25}$

Десятичная форма:

$- 0.24$