Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} (2 x^{3} + 6 x^{2} + x - 3) x - 3$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$lim_{x \to 3} (2 x^{3} + 6 x^{2} + x - 3) x - lim_{x \to 3} 3$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$lim_{x \to 3} 2 x^{3} + 6 x^{2} + x - 3 \cdot lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$(lim_{x \to 3} 2 x^{3} + lim_{x \to 3} 6 x^{2} + lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3) \cdot lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$(2 lim_{x \to 3} x^{3} + lim_{x \to 3} 6 x^{2} + lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3) \cdot lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3$

Этап 5

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$(2 {(lim_{x \to 3} x)}^{3} + lim_{x \to 3} 6 x^{2} + lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3) \cdot lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3$

Этап 6

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$(2 {(lim_{x \to 3} x)}^{3} + 6 lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3) \cdot lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3$

Этап 7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$(2 {(lim_{x \to 3} x)}^{3} + 6 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3) \cdot lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3$

Этап 8

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$(2 {(lim_{x \to 3} x)}^{3} + 6 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) \cdot lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3$

Этап 9

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$(2 {(lim_{x \to 3} x)}^{3} + 6 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) \cdot lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$(2 \cdot 3^{3} + 6 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) \cdot lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$(2 \cdot 3^{3} + 6 \cdot 3^{2} + lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) \cdot lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$(2 \cdot 3^{3} + 6 \cdot 3^{2} + 3 - 1 \cdot 3) \cdot lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3$

Этап 10.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$(2 \cdot 3^{3} + 6 \cdot 3^{2} + 3 - 1 \cdot 3) \cdot 3 - 1 \cdot 3$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$(2 \cdot 27 + 6 \cdot 3^{2} + 3 - 1 \cdot 3) \cdot 3 - 1 \cdot 3$

Этап 11.1.1.2

Умножим $2$ на $27$ .

$(54 + 6 \cdot 3^{2} + 3 - 1 \cdot 3) \cdot 3 - 1 \cdot 3$

Этап 11.1.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$(54 + 6 \cdot 9 + 3 - 1 \cdot 3) \cdot 3 - 1 \cdot 3$

Этап 11.1.1.4

Умножим $6$ на $9$ .

$(54 + 54 + 3 - 1 \cdot 3) \cdot 3 - 1 \cdot 3$

Этап 11.1.1.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$(54 + 54 + 3 - 3) \cdot 3 - 1 \cdot 3$

Этап 11.1.2

Добавим $54$ и $54$ .

$(108 + 3 - 3) \cdot 3 - 1 \cdot 3$

Этап 11.1.3

Добавим $108$ и $3$ .

$(111 - 3) \cdot 3 - 1 \cdot 3$

Этап 11.1.4

Вычтем $3$ из $111$ .

$108 \cdot 3 - 1 \cdot 3$

Этап 11.1.5

Умножим $108$ на $3$ .

$324 - 1 \cdot 3$

Этап 11.1.6

Умножим $- 1$ на $3$ .

$324 - 3$

Этап 11.2

Вычтем $3$ из $324$ .

$321$