Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} \frac{(\frac{5}{x}) - (\frac{5}{3})}{x - 3}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{5}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{5}{x} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{5}{3})}{x - 3}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- (\frac{5}{3})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{5}{x} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{5}{3}) \cdot \frac{x}{x}}{x - 3}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x \cdot 3$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{5}{x}$ на $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{5 \cdot 3}{x \cdot 3} - (\frac{5}{3}) \cdot \frac{x}{x}}{x - 3}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{5}{3}$ на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{5 \cdot 3}{x \cdot 3} - \frac{5 x}{3 x}}{x - 3}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $x \cdot 3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{5 \cdot 3}{3 x} - \frac{5 x}{3 x}}{x - 3}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{5 \cdot 3 - 5 x}{3 x}}{x - 3}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 3} \frac{5 \cdot 3 - 5 x}{3 x} \cdot \frac{1}{x - 3}$

Этап 2.1.2

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Умножим $5$ на $3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{15 - 5 x}{3 x} \cdot \frac{1}{x - 3}$

Этап 2.1.2.2

Умножим $\frac{15 - 5 x}{3 x}$ на $\frac{1}{x - 3}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{15 - 5 x}{3 x (x - 3)}$

Этап 2.2

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 3} \frac{15 - 5 x}{x (x - 3)}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 15 - 5 x}{lim_{x \to 3} x (x - 3)}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 15 - lim_{x \to 3} 5 x}{lim_{x \to 3} x (x - 3)}$

Этап 3.1.2.1.2

Найдем предел $15$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{15 - lim_{x \to 3} 5 x}{lim_{x \to 3} x (x - 3)}$

Этап 3.1.2.1.3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{15 - 5 lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} x (x - 3)}$

Этап 3.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{15 - 5 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x (x - 3)}$

Этап 3.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Умножим $- 5$ на $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{15 - 15}{lim_{x \to 3} x (x - 3)}$

Этап 3.1.2.3.2

Вычтем $15$ из $15$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 3} x (x - 3)}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 3} x \cdot lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 3.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 3} x \cdot (lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3)}$

Этап 3.1.3.3

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 3} x \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}$

Этап 3.1.3.4

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{3 \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}$

Этап 3.1.3.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{3 \cdot (3 - 1 \cdot 3)}$

Этап 3.1.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{3 \cdot (3 - 3)}$

Этап 3.1.3.5.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{3 \cdot 0}$

Этап 3.1.3.5.3

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.5.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 3} \frac{15 - 5 x}{x (x - 3)} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [15 - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x (x - 3)]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [15 - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x (x - 3)]}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $15 - 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x (x - 3)]}$

Этап 3.3.3

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 3} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x (x - 3)]}$

Этап 3.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 3} \frac{0 - 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x (x - 3)]}$

Этап 3.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 3} \frac{0 - 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x (x - 3)]}$

Этап 3.3.4.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 3} \frac{0 - 5}{\frac{d}{d x} [x (x - 3)]}$

Этап 3.3.5

Вычтем $5$ из $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 3} \frac{- 5}{\frac{d}{d x} [x (x - 3)]}$

Этап 3.3.6

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x - 3$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 3} \frac{- 5}{x \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.7

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 3} \frac{- 5}{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 3} \frac{- 5}{x (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.9

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 3} \frac{- 5}{x (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.10

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 3} \frac{- 5}{x \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.11

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 3} \frac{- 5}{x + (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 3} \frac{- 5}{x + (x - 3) \cdot 1}$

Этап 3.3.13

Умножим $x - 3$ на $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 3} \frac{- 5}{x + x - 3}$

Этап 3.3.14

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 3} \frac{- 5}{2 x - 3}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем член $- 5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 5 lim_{x \to 3} \frac{1}{2 x - 3}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 5 \frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} 2 x - 3}$

Этап 4.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 5 \frac{1}{lim_{x \to 3} 2 x - 3}$

Этап 4.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 5 \frac{1}{lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 3}$

Этап 4.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 5 \frac{1}{2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

Этап 4.6

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 5 \frac{1}{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

Этап 5

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 5 \frac{1}{2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 5$ .

$\frac{- 5}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}$

Этап 6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}$

Этап 6.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{6 - 1 \cdot 3}$

Этап 6.3.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{6 - 3}$

Этап 6.3.3

Вычтем $3$ из $6$ .

$- \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 6.4

Умножим $- \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{5}{3 \cdot 3}$

Этап 6.4.2

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{5}{9}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{5}{9}$

Десятичная форма:

$- 0.\overline{5}$