Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 3 y}{x^{2} - 3}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - 3 y}{lim_{x \to 3} x^{2} - 3}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 3 y}{lim_{x \to 3} x^{2} - 3}$

Этап 3

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 3 y}{lim_{x \to 3} x^{2} - 3}$

Этап 4

Найдем предел $3 y$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 3 y}{lim_{x \to 3} x^{2} - 3}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 3 y}{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 3}$

Этап 6

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 3 y}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 3}$

Этап 7

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 3 y}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 3}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3^{3} - 3 y}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 3}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3^{3} - 3 y}{3^{2} - 1 \cdot 3}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель $3^{3} - 3 y$ и $3^{2} - 1 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $3^{3}$ .

$\frac{- 1 (- 3^{3}) - 3 y}{3^{2} - 1 \cdot 3}$

Этап 9.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 y$ .

$\frac{- 1 (- 3^{3}) - (3 y)}{3^{2} - 1 \cdot 3}$

Этап 9.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 3^{3}) - (3 y)$ .

$\frac{- 1 (- 3^{3} + 3 y)}{3^{2} - 1 \cdot 3}$

Этап 9.1.4

Вынесем множитель $3$ из $- 1 (- 3^{3} + 3 y)$ .

$\frac{3 (- 1 (- 3^{2} + y))}{3^{2} - 1 \cdot 3}$

Этап 9.1.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3^{2}$ .

$\frac{3 (- 1 (- 3^{2} + y))}{3 \cdot 3 - 1 \cdot 3}$

Этап 9.1.5.2

Вынесем множитель $3$ из $- 1 \cdot 3$ .

$\frac{3 (- 1 (- 3^{2} + y))}{3 \cdot 3 + 3 \cdot - 1}$

Этап 9.1.5.3

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot 3 + 3 \cdot - 1$ .

$\frac{3 (- 1 (- 3^{2} + y))}{3 \cdot (3 - 1)}$

Этап 9.1.5.4

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- 1 (- 3^{2} + y))}{3 \cdot (3 - 1)}$

Этап 9.1.5.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 (- 3^{2} + y)}{3 - 1}$

Этап 9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{- 1 (- 1 \cdot 9 + y)}{3 - 1}$

Этап 9.2.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{- 1 (- 9 + y)}{3 - 1}$

Этап 9.3

Вычтем $1$ из $3$ .

$\frac{- 1 (- 9 + y)}{2}$

Этап 9.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{- 9 + y}{2}$

Этап 9.5

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$- \frac{- 1 (9) + y}{2}$

Этап 9.6

Вынесем множитель $- 1$ из $y$ .

$- \frac{- 1 (9) - 1 (- y)}{2}$

Этап 9.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (9) - 1 (- y)$ .

$- \frac{- 1 (9 - y)}{2}$

Этап 9.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{9 - y}{2}$

Этап 9.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{9 - y}{2}$

Этап 9.10

Умножим $\frac{9 - y}{2}$ на $1$ .

$\frac{9 - y}{2}$