Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2 - 9}}{x^{2 - 5 x + 6}}$

Этап 1

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Сократим общий множитель $x^{2 - 9}$ и $x^{2 - 5 x + 6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x^{2 - 5 x + 6}$ из $x^{2 - 9}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2 - 5 x + 6} x^{- 7 - (2 - 5 x + 6)}}{x^{2 - 5 x + 6}}$

Этап 1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Умножим на $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2 - 5 x + 6} x^{- 7 - (2 - 5 x + 6)}}{x^{2 - 5 x + 6} \cdot 1}$

Этап 1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2 - 5 x + 6} x^{- 7 - (2 - 5 x + 6)}}{x^{2 - 5 x + 6} \cdot 1}$

Этап 1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{- 7 - (2 - 5 x + 6)}}{1}$

Этап 1.1.2.4

Разделим $x^{- 7 - (2 - 5 x + 6)}$ на $1$ .

$lim_{x \to 3} x^{- 7 - (2 - 5 x + 6)}$

Этап 1.2

Добавим $2$ и $6$ .

$lim_{x \to 3} x^{- 7 - (- 5 x + 8)}$

Этап 2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $x^{- 7 - (- 5 x + 8)}$ в виде $e^{\ln (x^{- 7 - (- 5 x + 8)})}$ .

$lim_{x \to 3} e^{\ln (x^{- 7 - (- 5 x + 8)})}$

Этап 2.2

Развернем $\ln (x^{- 7 - (- 5 x + 8)})$ , вынося $- 7 - (- 5 x + 8)$ из логарифма.

$lim_{x \to 3} e^{(- 7 - (- 5 x + 8)) \ln (x)}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 3} (- 7 - (- 5 x + 8)) \ln (x)}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$e^{lim_{x \to 3} - 7 - (- 5 x + 8) \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}$

Этап 3.3

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{lim_{x \to 3} - 7 - (- 5 x + 8) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $- 7 - (- 5 x + 8)$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$e^{(- 7 - (- 5 \cdot 3 + 8)) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $- 5$ на $3$ .

$e^{(- 7 - (- 15 + 8)) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}$

Этап 4.2.2

Добавим $- 15$ и $8$ .

$e^{(- 7 - - 7) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}$

Этап 4.2.3

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$e^{(- 7 + 7) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}$

Этап 4.3

Добавим $- 7$ и $7$ .

$e^{0 \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}$

Этап 4.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$e^{0 \cdot \ln (3)}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $0 \cdot \ln (3)$ путем переноса $0$ под логарифм.

$e^{\ln (3^{0})}$

Этап 5.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$3^{0}$

Этап 5.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1$