Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} (\frac{1}{x - 3}) (\frac{1}{\sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2})$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Умножим $\frac{1}{x - 3}$ на $\frac{1}{\sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{\sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2}}{x - 3}$

Этап 1.1.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы записать $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}{x - 3}$

Этап 1.1.2.2

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}}{x - 3}$

Этап 1.1.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\sqrt{x + 1} \cdot 2$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2}{\sqrt{x + 1} \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}}{x - 3}$

Этап 1.1.2.3.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2}{\sqrt{x + 1} \cdot 2} - \frac{\sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x + 1}}}{x - 3}$

Этап 1.1.2.3.3

Изменим порядок множителей в $\sqrt{x + 1} \cdot 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2}{2 \sqrt{x + 1}} - \frac{\sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x + 1}}}{x - 3}$

Этап 1.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 - \sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x + 1}}}{x - 3}$

Этап 1.2

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 3} \frac{2 - \sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x + 1}} \cdot \frac{1}{x - 3}$

Этап 1.2.2

Умножим $\frac{2 - \sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x + 1}}$ на $\frac{1}{x - 3}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 - \sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Этап 1.3

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{2 - \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 2 - \sqrt{x + 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 2 - lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Этап 2.1.2.1.2

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Этап 2.1.2.1.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 3} x + 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Этап 2.1.2.1.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Этап 2.1.2.1.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 3} x + 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{3 + 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Этап 2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Этап 2.1.2.3.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{2^{2}}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Этап 2.1.2.3.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Этап 2.1.2.3.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - 2}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Этап 2.1.2.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} \cdot lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 2.1.3.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1} \cdot lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 2.1.3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1} \cdot lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 2.1.3.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1} \cdot lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 2.1.3.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1} \cdot (lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3)}$

Этап 2.1.3.6

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1} \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}$

Этап 2.1.3.7

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{3 + 1} \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}$

Этап 2.1.3.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{3 + 1} \cdot (3 - 1 \cdot 3)}$

Этап 2.1.3.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.8.1

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{4} \cdot (3 - 1 \cdot 3)}$

Этап 2.1.3.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{2^{2}} \cdot (3 - 1 \cdot 3)}$

Этап 2.1.3.8.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 \cdot (3 - 1 \cdot 3)}$

Этап 2.1.3.8.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 \cdot (3 - 3)}$

Этап 2.1.3.8.5

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 \cdot 0}$

Этап 2.1.3.8.6

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.8.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.9

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 3} \frac{2 - \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} (x - 3)} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $2 - \sqrt{x + 1}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 1}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Этап 2.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Этап 2.3.4.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Этап 2.3.4.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Этап 2.3.4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Этап 2.3.4.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Этап 2.3.4.4

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Этап 2.3.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Этап 2.3.4.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Этап 2.3.4.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Этап 2.3.4.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Этап 2.3.4.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Этап 2.3.4.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Этап 2.3.4.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Этап 2.3.4.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Этап 2.3.4.12

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Этап 2.3.4.13

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Этап 2.3.4.14

Умножим $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Этап 2.3.4.15

Перенесем ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Этап 2.3.5

Вычтем $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ из $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Этап 2.3.6

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)]}$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x - 3$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 2.3.8

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 2.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 2.3.10

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 2.3.11

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 2.3.12

Умножим ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 2.3.13

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.13.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 2.3.13.2

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 2.3.13.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 2.3.14

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 2.3.15

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 2.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 2.3.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.17.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 2.3.17.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 2.3.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 2.3.19

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 2.3.20

Перенесем ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 2.3.21

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Этап 2.3.22

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Этап 2.3.23

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}$

Этап 2.3.24

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}$

Этап 2.3.25

Умножим $x - 3$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.3.26

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.26.1

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.3.26.2

Умножим $x - 3$ на $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.3.26.3

Чтобы записать ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.3.26.4

Объединим ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.3.26.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.3.26.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.26.6.1

Умножим ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.26.6.1.1

Перенесем ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.3.26.6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.3.26.6.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.3.26.6.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.3.26.6.1.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + {(x + 1)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.3.26.6.2

Упростим ${(x + 1)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + (x + 1) \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.3.26.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + x \cdot 2 + 1 \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.3.26.6.4

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + 2 \cdot x + 1 \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.3.26.6.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + 2 \cdot x + 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.3.26.6.6

Добавим $x$ и $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x - 3 + 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.3.26.6.7

Добавим $- 3$ и $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3 x - 1}$

Этап 2.5

Переведем дробные показатели степени в форму с радикалами.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x + 1}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3 x - 1}$

Этап 2.5.2

Перепишем ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x + 1}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} \cdot \frac{2 \sqrt{x + 1}}{3 x - 1}$

Этап 2.6

Умножим $\frac{2 \sqrt{x + 1}}{3 x - 1}$ на $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{2 \sqrt{x + 1}}{(3 x - 1) \cdot 2 \sqrt{x + 1}}$

Этап 2.7

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{2 \sqrt{x + 1}}{(3 x - 1) \cdot 2 \sqrt{x + 1}}$

Этап 2.7.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{\sqrt{x + 1}}{(3 x - 1) (\sqrt{x + 1})}$

Этап 2.7.2

Сократим общий множитель $\sqrt{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{\sqrt{x + 1}}{(3 x - 1) \sqrt{x + 1}}$

Этап 2.7.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{1}{3 x - 1}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 lim_{x \to 3} \frac{1}{3 x - 1}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} 3 x - 1}$

Этап 3.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{1}{lim_{x \to 3} 3 x - 1}$

Этап 3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{1}{lim_{x \to 3} 3 x - lim_{x \to 3} 1}$

Этап 3.5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{1}{3 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 1}$

Этап 3.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{1}{3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}$

Этап 4

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{1}{3 \cdot 3 - 1 \cdot 1}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{3 \cdot 3 - 1 \cdot 1}$

Этап 5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3 \cdot 3 - 1 \cdot 1}$

Этап 5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9 - 1 \cdot 1}$

Этап 5.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9 - 1}$

Этап 5.3.3

Вычтем $1$ из $9$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$

Этап 5.4

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $\frac{1}{8}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{8 \cdot 2}$

Этап 5.4.2

Умножим $8$ на $2$ .

$- \frac{1}{16}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{16}$

Десятичная форма:

$- 0.0625$